Theorem iccneg 9802

Description: Membership in a negated closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iccneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴)))

Proof of Theorem iccneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8047	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
2		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (-𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ))
3	1, 2	impbid2 142	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ ↔ -𝐶 ∈ ℝ))
4	3	3ad2ant3 1005	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ -𝐶 ∈ ℝ))
5		ancom 264	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
6		leneg 8251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐶))
7	6	ancoms 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐶))
8	7	3adant1 1000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐶))
9		leneg 8251	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐴))
10	9	3adant2 1001	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐴))
11	8, 10	anbi12d 465	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ↔ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
12	5, 11	bitr3id 193	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
13	4, 12	anbi12d 465	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴))))
14		elicc2 9751	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
15	14	3adant3 1002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
16		3anass 967	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
17	15, 16	syl6bb 195	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))))
18		renegcl 8047	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
19		renegcl 8047	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
20		elicc2 9751	. . . . 5 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
21	18, 19, 20	syl2anr 288	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
22	21	3adant3 1002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
23		3anass 967	. . 3 ⊢ ((-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
24	22, 23	syl6bb 195	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴))))
25	13, 17, 24	3bitr4d 219	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℝcr 7643   ≤ cle 7825  -cneg 7958  [,]cicc 9704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-icc 9708

This theorem is referenced by: (None)