Theorem ifcldcd 3555

Description: Membership (closure) of a conditional operator, deduction form. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifcldcd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
ifcldcd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
ifcldcd.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
ifcldcd	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem ifcldcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3525	. . . 4 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
2	1	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
3		ifcldcd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
4	3	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ 𝐶)
5	2, 4	eqeltrd 2243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)
6		iffalse 3528	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
7	6	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
8		ifcldcd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
9	8	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → 𝐵 ∈ 𝐶)
10	7, 9	eqeltrd 2243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)
11		ifcldcd.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝜓)
12		df-dc 825	. . 3 ⊢ (DECID 𝜓 ↔ (𝜓 ∨ ¬ 𝜓))
13	11, 12	sylib 121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ∨ ¬ 𝜓))
14	5, 10, 13	mpjaodan 788	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ifcif 3520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-if 3521

This theorem is referenced by:  fimax2gtrilemstep  6866  nnnninf  7090  nnnninfeq  7092  fodjuf  7109  fodjum  7110  fodju0  7111  mkvprop  7122  xaddf  9780  xaddval  9781  uzin2  10929  fsum3ser  11338  fsumsplit  11348  explecnv  11446  fprodsplitdc  11537  pcmpt2  12274  ennnfonelemp1  12339  opifismgmdc  12602  lgsval  13545  lgsfvalg  13546  lgsfcl2  13547  lgscllem  13548  lgsval2lem  13551  lgsneg  13565  lgsdilem  13568  lgsdir2  13574  lgsdir  13576  lgsdi  13578  lgsne0  13579  bj-charfundc  13690  nnsf  13885  peano4nninf  13886  nninfsellemcl  13891  nninffeq  13900  dceqnconst  13938  dcapnconst  13939