Theorem ifcldcd 3643

Description: Membership (closure) of a conditional operator, deduction form. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifcldcd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
ifcldcd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
ifcldcd.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
ifcldcd	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem ifcldcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3610	. . . 4 ⊢ (𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
3		ifcldcd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ 𝐶)
5	2, 4	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)
6		iffalse 3613	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
7	6	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
8		ifcldcd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → 𝐵 ∈ 𝐶)
10	7, 9	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)
11		ifcldcd.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝜓)
12		df-dc 842	. . 3 ⊢ (DECID 𝜓 ↔ (𝜓 ∨ ¬ 𝜓))
13	11, 12	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ∨ ¬ 𝜓))
14	5, 10, 13	mpjaodan 805	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ifcif 3605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-if 3606

This theorem is referenced by:  pw2f1odclem  7020  fimax2gtrilemstep  7090  nnnninf  7325  nnnninfeq  7327  fodjuf  7344  fodjum  7345  fodju0  7346  mkvprop  7357  nninfwlporlemd  7371  nninfwlporlem  7372  nninfwlpoimlemg  7374  nninfwlpoimlemginf  7375  xaddf  10079  xaddval  10080  nninfinf  10705  seqf1oglem1  10781  seqf1oglem2  10782  uzin2  11548  fsum3ser  11959  fsumsplit  11969  explecnv  12067  fprodsplitdc  12158  nninfctlemfo  12612  pcmpt2  12918  ennnfonelemp1  13028  opifismgmdc  13455  psr1clfi  14704  elply2  15461  ply1term  15469  plyaddlem1  15473  plyaddlem  15475  lgsval  15735  lgsfvalg  15736  lgsfcl2  15737  lgscllem  15738  lgsval2lem  15741  lgsneg  15755  lgsdilem  15758  lgsdir2  15764  lgsdir  15766  lgsdi  15768  lgsne0  15769  gausslemma2dlem1cl  15790  gausslemma2dlem4  15795  bj-charfundc  16406  2omap  16597  nnsf  16610  peano4nninf  16611  nninfsellemcl  16616  nninffeq  16625  dceqnconst  16667  dcapnconst  16668