Theorem fsumsplit 11370

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit.1	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fsumsplit.2	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fsumsplit.3	|- ( ph -> U e. Fin )
fsumsplit.4	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit	|- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   ph, k   U, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem fsumsplit

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3290	. . . . 5 |- A C_ ( A u. B )
2		fsumsplit.2	. . . . 5 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
3	1, 2	sseqtrrid 3198	. . . 4 |- ( ph -> A C_ U )
4		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> x e. A )
5	4	orcd 728	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
6		fsumsplit.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
7		disjel 3469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. A ) -> -. x e. B )
8	7	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( x e. A -> -. x e. B ) )
9	8	con2d 619	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( x e. B -> -. x e. A ) )
10	9	imp 123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. B ) -> -. x e. A )
11	6, 10	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> -. x e. A )
12	11	adantlr 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. B ) -> -. x e. A )
13	12	olcd 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. B ) -> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
14	2	eleq2d 2240	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. U <-> x e. ( A u. B ) ) )
15	14	biimpa 294	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> x e. ( A u. B ) )
16		elun 3268	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
17	15, 16	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( x e. A \/ x e. B ) )
18	5, 13, 17	mpjaodan 793	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
19		df-dc 830	. . . . . 6 |- (DECID x e. A <-> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
20	18, 19	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> DECID x e. A )
21	20	ralrimiva 2543	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. U DECID x e. A )
22	3	sselda 3147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. U )
23		fsumsplit.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
24	22, 23	syldan 280	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
25	24	ralrimiva 2543	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
26		fsumsplit.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. Fin )
27	26	olcd 729	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0 e. ZZ /\ U C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ A. x e. ( ZZ>= ` 0 )DECID x e. U ) \/ U e. Fin ) )
28	3, 21, 25, 27	isumss2 11356	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) )
29		ssun2 3291	. . . . 5 |- B C_ ( A u. B )
30	29, 2	sseqtrrid 3198	. . . 4 |- ( ph -> B C_ U )
31	6	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> ( A i^i B ) = (/) )
32	31, 7	sylancom 418	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> -. x e. B )
33	32	olcd 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
34	17	orcanai 923	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ -. x e. A ) -> x e. B )
35	34	orcd 728	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ -. x e. A ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
36	33, 35, 18	mpjaodan 793	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
37		df-dc 830	. . . . . 6 |- (DECID x e. B <-> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
38	36, 37	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> DECID x e. B )
39	38	ralrimiva 2543	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. U DECID x e. B )
40	30	sselda 3147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. U )
41	40, 23	syldan 280	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
42	41	ralrimiva 2543	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
43	30, 39, 42, 27	isumss2 11356	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. B C = sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) )
44	28, 43	oveq12d 5871	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = ( sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) ) )
45		0cnd 7913	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> 0 e. CC )
46		eleq1w 2231	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( x e. A <-> k e. A ) )
47	46	dcbid 833	. . . . 5 |- ( x = k -> (DECID x e. A <-> DECID k e. A ) )
48	21	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> A. x e. U DECID x e. A )
49		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> k e. U )
50	47, 48, 49	rspcdva 2839	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. A )
51	23, 45, 50	ifcldcd 3561	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
52		eleq1w 2231	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( x e. B <-> k e. B ) )
53	52	dcbid 833	. . . . 5 |- ( x = k -> (DECID x e. B <-> DECID k e. B ) )
54	39	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> A. x e. U DECID x e. B )
55	53, 54, 49	rspcdva 2839	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. B )
56	23, 45, 55	ifcldcd 3561	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
57	26, 51, 56	fsumadd 11369	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) ) )
58	2	eleq2d 2240	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. U <-> k e. ( A u. B ) ) )
59		elun 3268	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
60	58, 59	bitrdi 195	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. U <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
61	60	biimpa 294	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( k e. A \/ k e. B ) )
62		iftrue 3531	. . . . . . . 8 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
63	62	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
64		noel 3418	. . . . . . . . . . 11 |- -. k e. (/)
65	6	eleq2d 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( A i^i B ) <-> k e. (/) ) )
66		elin 3310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( A i^i B ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) )
67	65, 66	bitr3di 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. (/) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) )
68	64, 67	mtbii 669	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
69		imnan 685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. A -> -. k e. B ) <-> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
70	68, 69	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
71	70	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
72	71	iffalsed 3536	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = 0 )
73	63, 72	oveq12d 5871	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( C + 0 ) )
74	24	addid1d 8068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C + 0 ) = C )
75	73, 74	eqtrd 2203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
76	70	con2d 619	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. B -> -. k e. A ) )
77	76	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> -. k e. A )
78	77	iffalsed 3536	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
79		iftrue 3531	. . . . . . . 8 |- ( k e. B -> if ( k e. B , C , 0 ) = C )
80	79	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = C )
81	78, 80	oveq12d 5871	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + C ) )
82	41	addid2d 8069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( 0 + C ) = C )
83	81, 82	eqtrd 2203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
84	75, 83	jaodan 792	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. A \/ k e. B ) ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
85	61, 84	syldan 280	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
86	85	sumeq2dv 11331	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = sum_ k e. U C )
87	44, 57, 86	3eqtr2rd 2210	1 |- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   u. cun 3119   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3526   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772   0cc0 7774   + caddc 7777   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  fsumsplitf  11371  sumpr  11376  sumtp  11377  fsumm1  11379  fsum1p  11381  fsumsplitsnun  11382  fsum2dlemstep  11397  fsumconst  11417  fsumlessfi  11423  fsumabs  11428  fsumiun  11440  mertenslemi1  11498  fsumcncntop  13350  cvgcmp2nlemabs  14064