Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsplit Unicode version

Theorem fsumsplit 11228
 Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit.1
fsumsplit.2
fsumsplit.3
fsumsplit.4
Assertion
Ref Expression
fsumsplit
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fsumsplit
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 3245 . . . . 5
2 fsumsplit.2 . . . . 5
31, 2sseqtrrid 3154 . . . 4
4 simpr 109 . . . . . . . 8
54orcd 723 . . . . . . 7
6 fsumsplit.1 . . . . . . . . . 10
7 disjel 3423 . . . . . . . . . . . . 13
87ex 114 . . . . . . . . . . . 12
98con2d 614 . . . . . . . . . . 11
109imp 123 . . . . . . . . . 10
116, 10sylan 281 . . . . . . . . 9
1211adantlr 469 . . . . . . . 8
1312olcd 724 . . . . . . 7
142eleq2d 2210 . . . . . . . . 9
1514biimpa 294 . . . . . . . 8
16 elun 3223 . . . . . . . 8
1715, 16sylib 121 . . . . . . 7
185, 13, 17mpjaodan 788 . . . . . 6
19 df-dc 821 . . . . . 6 DECID
2018, 19sylibr 133 . . . . 5 DECID
2120ralrimiva 2509 . . . 4 DECID
223sselda 3103 . . . . . 6
23 fsumsplit.4 . . . . . 6
2422, 23syldan 280 . . . . 5
2524ralrimiva 2509 . . . 4
26 fsumsplit.3 . . . . 5
2726olcd 724 . . . 4 DECID
283, 21, 25, 27isumss2 11214 . . 3
29 ssun2 3246 . . . . 5
3029, 2sseqtrrid 3154 . . . 4
316ad2antrr 480 . . . . . . . . 9
3231, 7sylancom 417 . . . . . . . 8
3332olcd 724 . . . . . . 7
3417orcanai 914 . . . . . . . 8
3534orcd 723 . . . . . . 7
3633, 35, 18mpjaodan 788 . . . . . 6
37 df-dc 821 . . . . . 6 DECID
3836, 37sylibr 133 . . . . 5 DECID
3938ralrimiva 2509 . . . 4 DECID
4030sselda 3103 . . . . . 6
4140, 23syldan 280 . . . . 5
4241ralrimiva 2509 . . . 4
4330, 39, 42, 27isumss2 11214 . . 3
4428, 43oveq12d 5801 . 2
45 0cnd 7803 . . . 4
46 eleq1w 2201 . . . . . 6
4746dcbid 824 . . . . 5 DECID DECID
4821adantr 274 . . . . 5 DECID
49 simpr 109 . . . . 5
5047, 48, 49rspcdva 2799 . . . 4 DECID
5123, 45, 50ifcldcd 3513 . . 3
52 eleq1w 2201 . . . . . 6
5352dcbid 824 . . . . 5 DECID DECID
5439adantr 274 . . . . 5 DECID
5553, 54, 49rspcdva 2799 . . . 4 DECID
5623, 45, 55ifcldcd 3513 . . 3
5726, 51, 56fsumadd 11227 . 2
582eleq2d 2210 . . . . . 6
59 elun 3223 . . . . . 6
6058, 59syl6bb 195 . . . . 5
6160biimpa 294 . . . 4
62 iftrue 3485 . . . . . . . 8
6362adantl 275 . . . . . . 7
64 noel 3373 . . . . . . . . . . 11
656eleq2d 2210 . . . . . . . . . . . 12
66 elin 3265 . . . . . . . . . . . 12
6765, 66bitr3di 194 . . . . . . . . . . 11
6864, 67mtbii 664 . . . . . . . . . 10
69 imnan 680 . . . . . . . . . 10
7068, 69sylibr 133 . . . . . . . . 9
7170imp 123 . . . . . . . 8
7271iffalsed 3490 . . . . . . 7
7363, 72oveq12d 5801 . . . . . 6
7424addid1d 7955 . . . . . 6
7573, 74eqtrd 2173 . . . . 5
7670con2d 614 . . . . . . . . 9
7776imp 123 . . . . . . . 8
7877iffalsed 3490 . . . . . . 7
79 iftrue 3485 . . . . . . . 8
8079adantl 275 . . . . . . 7
8178, 80oveq12d 5801 . . . . . 6
8241addid2d 7956 . . . . . 6
8381, 82eqtrd 2173 . . . . 5
8475, 83jaodan 787 . . . 4
8561, 84syldan 280 . . 3
8685sumeq2dv 11189 . 2
8744, 57, 863eqtr2rd 2180 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wo 698  DECID wdc 820   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417   cun 3075   cin 3076   wss 3077  c0 3369  cif 3480  cfv 5132  (class class class)co 5783  cfn 6643  cc 7662  cc0 7664   caddc 7667  cz 9098  cuz 9370  csu 11174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-isom 5141  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-irdg 6276  df-frec 6297  df-1o 6322  df-oadd 6326  df-er 6438  df-en 6644  df-dom 6645  df-fin 6646  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-fz 9842  df-fzo 9971  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-ihash 10574  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-clim 11100  df-sumdc 11175 This theorem is referenced by:  fsumsplitf  11229  sumpr  11234  sumtp  11235  fsumm1  11237  fsum1p  11239  fsumsplitsnun  11240  fsum2dlemstep  11255  fsumconst  11275  fsumlessfi  11281  fsumabs  11286  fsumiun  11298  mertenslemi1  11356  fsumcncntop  12784  cvgcmp2nlemabs  13421
 Copyright terms: Public domain W3C validator