Theorem fsumsplit 11550

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit.1	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fsumsplit.2	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fsumsplit.3	|- ( ph -> U e. Fin )
fsumsplit.4	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit	|- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   ph, k   U, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem fsumsplit

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3322	. . . . 5 |- A C_ ( A u. B )
2		fsumsplit.2	. . . . 5 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
3	1, 2	sseqtrrid 3230	. . . 4 |- ( ph -> A C_ U )
4		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> x e. A )
5	4	orcd 734	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
6		fsumsplit.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
7		disjel 3501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. A ) -> -. x e. B )
8	7	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( x e. A -> -. x e. B ) )
9	8	con2d 625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( x e. B -> -. x e. A ) )
10	9	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. B ) -> -. x e. A )
11	6, 10	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> -. x e. A )
12	11	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. B ) -> -. x e. A )
13	12	olcd 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. B ) -> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
14	2	eleq2d 2263	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. U <-> x e. ( A u. B ) ) )
15	14	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> x e. ( A u. B ) )
16		elun 3300	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( x e. A \/ x e. B ) )
18	5, 13, 17	mpjaodan 799	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
19		df-dc 836	. . . . . 6 |- (DECID x e. A <-> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
20	18, 19	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> DECID x e. A )
21	20	ralrimiva 2567	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. U DECID x e. A )
22	3	sselda 3179	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. U )
23		fsumsplit.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
24	22, 23	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
25	24	ralrimiva 2567	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
26		fsumsplit.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. Fin )
27	26	olcd 735	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0 e. ZZ /\ U C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ A. x e. ( ZZ>= ` 0 )DECID x e. U ) \/ U e. Fin ) )
28	3, 21, 25, 27	isumss2 11536	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) )
29		ssun2 3323	. . . . 5 |- B C_ ( A u. B )
30	29, 2	sseqtrrid 3230	. . . 4 |- ( ph -> B C_ U )
31	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> ( A i^i B ) = (/) )
32	31, 7	sylancom 420	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> -. x e. B )
33	32	olcd 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
34	17	orcanai 929	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ -. x e. A ) -> x e. B )
35	34	orcd 734	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ -. x e. A ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
36	33, 35, 18	mpjaodan 799	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
37		df-dc 836	. . . . . 6 |- (DECID x e. B <-> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
38	36, 37	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> DECID x e. B )
39	38	ralrimiva 2567	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. U DECID x e. B )
40	30	sselda 3179	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. U )
41	40, 23	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
42	41	ralrimiva 2567	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
43	30, 39, 42, 27	isumss2 11536	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. B C = sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) )
44	28, 43	oveq12d 5936	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = ( sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) ) )
45		0cnd 8012	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> 0 e. CC )
46		eleq1w 2254	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( x e. A <-> k e. A ) )
47	46	dcbid 839	. . . . 5 |- ( x = k -> (DECID x e. A <-> DECID k e. A ) )
48	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> A. x e. U DECID x e. A )
49		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> k e. U )
50	47, 48, 49	rspcdva 2869	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. A )
51	23, 45, 50	ifcldcd 3593	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
52		eleq1w 2254	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( x e. B <-> k e. B ) )
53	52	dcbid 839	. . . . 5 |- ( x = k -> (DECID x e. B <-> DECID k e. B ) )
54	39	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> A. x e. U DECID x e. B )
55	53, 54, 49	rspcdva 2869	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. B )
56	23, 45, 55	ifcldcd 3593	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
57	26, 51, 56	fsumadd 11549	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) ) )
58	2	eleq2d 2263	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. U <-> k e. ( A u. B ) ) )
59		elun 3300	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
60	58, 59	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. U <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
61	60	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( k e. A \/ k e. B ) )
62		iftrue 3562	. . . . . . . 8 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
63	62	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
64		noel 3450	. . . . . . . . . . 11 |- -. k e. (/)
65	6	eleq2d 2263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( A i^i B ) <-> k e. (/) ) )
66		elin 3342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( A i^i B ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) )
67	65, 66	bitr3di 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. (/) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) )
68	64, 67	mtbii 675	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
69		imnan 691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. A -> -. k e. B ) <-> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
70	68, 69	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
71	70	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
72	71	iffalsed 3567	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = 0 )
73	63, 72	oveq12d 5936	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( C + 0 ) )
74	24	addridd 8168	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C + 0 ) = C )
75	73, 74	eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
76	70	con2d 625	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. B -> -. k e. A ) )
77	76	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> -. k e. A )
78	77	iffalsed 3567	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
79		iftrue 3562	. . . . . . . 8 |- ( k e. B -> if ( k e. B , C , 0 ) = C )
80	79	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = C )
81	78, 80	oveq12d 5936	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + C ) )
82	41	addlidd 8169	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( 0 + C ) = C )
83	81, 82	eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
84	75, 83	jaodan 798	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. A \/ k e. B ) ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
85	61, 84	syldan 282	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
86	85	sumeq2dv 11511	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = sum_ k e. U C )
87	44, 57, 86	3eqtr2rd 2233	1 |- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   u. cun 3151   i^i cin 3152   C_ wss 3153   (/)c0 3446   ifcif 3557   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Fincfn 6794   CCcc 7870   0cc0 7872   + caddc 7875   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   sum_csu 11496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497

This theorem is referenced by:  fsumsplitf  11551  sumpr  11556  sumtp  11557  fsumm1  11559  fsum1p  11561  fsumsplitsnun  11562  fsum2dlemstep  11577  fsumconst  11597  fsumlessfi  11603  fsumabs  11608  fsumiun  11620  mertenslemi1  11678  fsumcncntop  14724  cvgcmp2nlemabs  15522