Theorem fsumsplit 10797

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit.1	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fsumsplit.2	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fsumsplit.3	|- ( ph -> U e. Fin )
fsumsplit.4	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit	|- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   ph, k   U, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem fsumsplit

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3163	. . . . 5 |- A C_ ( A u. B )
2		fsumsplit.2	. . . . 5 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
3	1, 2	syl5sseqr 3075	. . . 4 |- ( ph -> A C_ U )
4		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> x e. A )
5	4	orcd 687	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
6		fsumsplit.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
7		disjel 3337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. A ) -> -. x e. B )
8	7	ex 113	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( x e. A -> -. x e. B ) )
9	8	con2d 589	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( x e. B -> -. x e. A ) )
10	9	imp 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. B ) -> -. x e. A )
11	6, 10	sylan 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> -. x e. A )
12	11	adantlr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. B ) -> -. x e. A )
13	12	olcd 688	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. B ) -> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
14	2	eleq2d 2157	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. U <-> x e. ( A u. B ) ) )
15	14	biimpa 290	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> x e. ( A u. B ) )
16		elun 3141	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
17	15, 16	sylib 120	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( x e. A \/ x e. B ) )
18	5, 13, 17	mpjaodan 747	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
19		df-dc 781	. . . . . 6 |- (DECID x e. A <-> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
20	18, 19	sylibr 132	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> DECID x e. A )
21	20	ralrimiva 2446	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. U DECID x e. A )
22	3	sselda 3025	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. U )
23		fsumsplit.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
24	22, 23	syldan 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
25	24	ralrimiva 2446	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
26		fsumsplit.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. Fin )
27	26	olcd 688	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0 e. ZZ /\ U C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ A. x e. ( ZZ>= ` 0 )DECID x e. U ) \/ U e. Fin ) )
28	3, 21, 25, 27	isumss2 10781	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) )
29		ssun2 3164	. . . . 5 |- B C_ ( A u. B )
30	29, 2	syl5sseqr 3075	. . . 4 |- ( ph -> B C_ U )
31	6	ad2antrr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> ( A i^i B ) = (/) )
32	31, 7	sylancom 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> -. x e. B )
33	32	olcd 688	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
34	17	orcanai 875	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ -. x e. A ) -> x e. B )
35	34	orcd 687	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ -. x e. A ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
36	33, 35, 18	mpjaodan 747	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
37		df-dc 781	. . . . . 6 |- (DECID x e. B <-> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
38	36, 37	sylibr 132	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> DECID x e. B )
39	38	ralrimiva 2446	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. U DECID x e. B )
40	30	sselda 3025	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. U )
41	40, 23	syldan 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
42	41	ralrimiva 2446	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
43	30, 39, 42, 27	isumss2 10781	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. B C = sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) )
44	28, 43	oveq12d 5670	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = ( sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) ) )
45		0cnd 7479	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> 0 e. CC )
46		eleq1w 2148	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( x e. A <-> k e. A ) )
47	46	dcbid 786	. . . . 5 |- ( x = k -> (DECID x e. A <-> DECID k e. A ) )
48	21	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> A. x e. U DECID x e. A )
49		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> k e. U )
50	47, 48, 49	rspcdva 2727	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. A )
51	23, 45, 50	ifcldcd 3426	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
52		eleq1w 2148	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( x e. B <-> k e. B ) )
53	52	dcbid 786	. . . . 5 |- ( x = k -> (DECID x e. B <-> DECID k e. B ) )
54	39	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> A. x e. U DECID x e. B )
55	53, 54, 49	rspcdva 2727	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. B )
56	23, 45, 55	ifcldcd 3426	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
57	26, 51, 56	fsumadd 10796	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) ) )
58	2	eleq2d 2157	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. U <-> k e. ( A u. B ) ) )
59		elun 3141	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
60	58, 59	syl6bb 194	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. U <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
61	60	biimpa 290	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( k e. A \/ k e. B ) )
62		iftrue 3398	. . . . . . . 8 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
63	62	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
64		noel 3290	. . . . . . . . . . 11 |- -. k e. (/)
65		elin 3183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( A i^i B ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) )
66	6	eleq2d 2157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( A i^i B ) <-> k e. (/) ) )
67	65, 66	syl5rbbr 193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. (/) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) )
68	64, 67	mtbii 634	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
69		imnan 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. A -> -. k e. B ) <-> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
70	68, 69	sylibr 132	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
71	70	imp 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
72	71	iffalsed 3403	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = 0 )
73	63, 72	oveq12d 5670	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( C + 0 ) )
74	24	addid1d 7629	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C + 0 ) = C )
75	73, 74	eqtrd 2120	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
76	70	con2d 589	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. B -> -. k e. A ) )
77	76	imp 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> -. k e. A )
78	77	iffalsed 3403	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
79		iftrue 3398	. . . . . . . 8 |- ( k e. B -> if ( k e. B , C , 0 ) = C )
80	79	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = C )
81	78, 80	oveq12d 5670	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + C ) )
82	41	addid2d 7630	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( 0 + C ) = C )
83	81, 82	eqtrd 2120	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
84	75, 83	jaodan 746	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. A \/ k e. B ) ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
85	61, 84	syldan 276	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
86	85	sumeq2dv 10753	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = sum_ k e. U C )
87	44, 57, 86	3eqtr2rd 2127	1 |- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 664  DECID wdc 780   /\ w3a 924   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   u. cun 2997   i^i cin 2998   C_ wss 2999   (/)c0 3286   ifcif 3393   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   Fincfn 6455   CCcc 7346   0cc0 7348   + caddc 7351   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017   sum_csu 10738

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663  df-isum 10739

This theorem is referenced by:  fsumsplitf  10798  sumpr  10803  sumtp  10804  fsumm1  10806  fsum1p  10808  fsumsplitsnun  10809  fsum2dlemstep  10824  fsumconst  10844  fsumlessfi  10850  fsumabs  10855  fsumiun  10867  mertenslemi1  10925