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Theorem fsumsplit 11127
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit.1  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
fsumsplit.2  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
fsumsplit.3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
fsumsplit.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumsplit  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    U, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem fsumsplit
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 3207 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
2 fsumsplit.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
31, 2sseqtrrid 3116 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
4 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
54orcd 705 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  A
) )
6 fsumsplit.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
7 disjel 3385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  -.  x  e.  B )
87ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B )
)
98con2d 596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A )
)
109imp 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
116, 10sylan 279 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
1211adantlr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
1312olcd 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  A
) )
142eleq2d 2185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U  <->  x  e.  ( A  u.  B ) ) )
1514biimpa 292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  x  e.  ( A  u.  B
) )
16 elun 3185 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
1715, 16sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  B )
)
185, 13, 17mpjaodan 770 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  A
) )
19 df-dc 803 . . . . . 6  |-  (DECID  x  e.  A  <->  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  A ) )
2018, 19sylibr 133 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  -> DECID  x  e.  A
)
2120ralrimiva 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U DECID  x  e.  A )
223sselda 3065 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  U )
23 fsumsplit.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
2422, 23syldan 278 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2524ralrimiva 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
26 fsumsplit.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
2726olcd 706 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0  e.  ZZ  /\  U  C_  ( ZZ>= `  0 )  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  0 )DECID  x  e.  U )  \/  U  e.  Fin ) )
283, 21, 25, 27isumss2 11113 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
29 ssun2 3208 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
3029, 2sseqtrrid 3116 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
316ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  A )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
3231, 7sylancom 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  A )  ->  -.  x  e.  B )
3332olcd 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
3417orcanai 896 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  -.  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
3534orcd 705 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
3633, 35, 18mpjaodan 770 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
37 df-dc 803 . . . . . 6  |-  (DECID  x  e.  B  <->  ( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B ) )
3836, 37sylibr 133 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  -> DECID  x  e.  B
)
3938ralrimiva 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U DECID  x  e.  B )
4030sselda 3065 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  U )
4140, 23syldan 278 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
4241ralrimiva 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
4330, 39, 42, 27isumss2 11113 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
4428, 43oveq12d 5758 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )  =  ( sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
45 0cnd 7723 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  0  e.  CC )
46 eleq1w 2176 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
x  e.  A  <->  k  e.  A ) )
4746dcbid 806 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
4821adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  A. x  e.  U DECID  x  e.  A
)
49 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  k  e.  U )
5047, 48, 49rspcdva 2766 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  -> DECID  k  e.  A
)
5123, 45, 50ifcldcd 3475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
52 eleq1w 2176 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
x  e.  B  <->  k  e.  B ) )
5352dcbid 806 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (DECID  x  e.  B  <-> DECID  k  e.  B )
)
5439adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  A. x  e.  U DECID  x  e.  B
)
5553, 54, 49rspcdva 2766 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  -> DECID  k  e.  B
)
5623, 45, 55ifcldcd 3475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
5726, 51, 56fsumadd 11126 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
582eleq2d 2185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  k  e.  ( A  u.  B ) ) )
59 elun 3185 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
6058, 59syl6bb 195 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B )
) )
6160biimpa 292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  (
k  e.  A  \/  k  e.  B )
)
62 iftrue 3447 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
6362adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
64 noel 3335 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  k  e.  (/)
65 elin 3227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
666eleq2d 2185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <-> 
k  e.  (/) ) )
6765, 66syl5rbbr 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (/)  <->  (
k  e.  A  /\  k  e.  B )
) )
6864, 67mtbii 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
69 imnan 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
)  <->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
7068, 69sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
) )
7170imp 123 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
7271iffalsed 3452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
7363, 72oveq12d 5758 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( C  + 
0 ) )
7424addid1d 7875 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
7573, 74eqtrd 2148 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  C )
7670con2d 596 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  ->  -.  k  e.  A
) )
7776imp 123 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  -.  k  e.  A )
7877iffalsed 3452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
79 iftrue 3447 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
8079adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
8178, 80oveq12d 5758 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  C ) )
8241addid2d 7876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
0  +  C )  =  C )
8381, 82eqtrd 2148 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  C )
8475, 83jaodan 769 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )  -> 
( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )  =  C )
8561, 84syldan 278 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  C )
8685sumeq2dv 11088 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  sum_ k  e.  U  C )
8744, 57, 863eqtr2rd 2155 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 680  DECID wdc 802    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391    u. cun 3037    i^i cin 3038    C_ wss 3039   (/)c0 3331   ifcif 3442   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   Fincfn 6600   CCcc 7582   0cc0 7584    + caddc 7587   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278   sum_csu 11073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-ihash 10473  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999  df-sumdc 11074
This theorem is referenced by:  fsumsplitf  11128  sumpr  11133  sumtp  11134  fsumm1  11136  fsum1p  11138  fsumsplitsnun  11139  fsum2dlemstep  11154  fsumconst  11174  fsumlessfi  11180  fsumabs  11185  fsumiun  11197  mertenslemi1  11255  fsumcncntop  12631  cvgcmp2nlemabs  13061
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