Theorem fsumsplit 12093

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit.1	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fsumsplit.2	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fsumsplit.3	|- ( ph -> U e. Fin )
fsumsplit.4	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit	|- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   ph, k   U, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem fsumsplit

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3382	. . . . 5 |- A C_ ( A u. B )
2		fsumsplit.2	. . . . 5 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
3	1, 2	sseqtrrid 3289	. . . 4 |- ( ph -> A C_ U )
4		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> x e. A )
5	4	orcd 741	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
6		fsumsplit.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
7		disjel 3563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. A ) -> -. x e. B )
8	7	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( x e. A -> -. x e. B ) )
9	8	con2d 629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( x e. B -> -. x e. A ) )
10	9	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. B ) -> -. x e. A )
11	6, 10	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> -. x e. A )
12	11	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. B ) -> -. x e. A )
13	12	olcd 742	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. B ) -> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
14	2	eleq2d 2302	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. U <-> x e. ( A u. B ) ) )
15	14	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> x e. ( A u. B ) )
16		elun 3360	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( x e. A \/ x e. B ) )
18	5, 13, 17	mpjaodan 806	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
19		df-dc 843	. . . . . 6 |- (DECID x e. A <-> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
20	18, 19	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> DECID x e. A )
21	20	ralrimiva 2615	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. U DECID x e. A )
22	3	sselda 3238	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. U )
23		fsumsplit.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
24	22, 23	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
25	24	ralrimiva 2615	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
26		fsumsplit.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. Fin )
27	26	olcd 742	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0 e. ZZ /\ U C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ A. x e. ( ZZ>= ` 0 )DECID x e. U ) \/ U e. Fin ) )
28	3, 21, 25, 27	isumss2 12079	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) )
29		ssun2 3383	. . . . 5 |- B C_ ( A u. B )
30	29, 2	sseqtrrid 3289	. . . 4 |- ( ph -> B C_ U )
31	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> ( A i^i B ) = (/) )
32	31, 7	sylancom 420	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> -. x e. B )
33	32	olcd 742	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
34	17	orcanai 936	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ -. x e. A ) -> x e. B )
35	34	orcd 741	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ -. x e. A ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
36	33, 35, 18	mpjaodan 806	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
37		df-dc 843	. . . . . 6 |- (DECID x e. B <-> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
38	36, 37	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> DECID x e. B )
39	38	ralrimiva 2615	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. U DECID x e. B )
40	30	sselda 3238	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. U )
41	40, 23	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
42	41	ralrimiva 2615	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
43	30, 39, 42, 27	isumss2 12079	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. B C = sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) )
44	28, 43	oveq12d 6068	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = ( sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) ) )
45		0cnd 8267	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> 0 e. CC )
46		eleq1w 2293	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( x e. A <-> k e. A ) )
47	46	dcbid 846	. . . . 5 |- ( x = k -> (DECID x e. A <-> DECID k e. A ) )
48	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> A. x e. U DECID x e. A )
49		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> k e. U )
50	47, 48, 49	rspcdva 2926	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. A )
51	23, 45, 50	ifcldcd 3660	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
52		eleq1w 2293	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( x e. B <-> k e. B ) )
53	52	dcbid 846	. . . . 5 |- ( x = k -> (DECID x e. B <-> DECID k e. B ) )
54	39	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> A. x e. U DECID x e. B )
55	53, 54, 49	rspcdva 2926	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. B )
56	23, 45, 55	ifcldcd 3660	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
57	26, 51, 56	fsumadd 12092	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) ) )
58	2	eleq2d 2302	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. U <-> k e. ( A u. B ) ) )
59		elun 3360	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
60	58, 59	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. U <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
61	60	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( k e. A \/ k e. B ) )
62		iftrue 3627	. . . . . . . 8 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
63	62	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
64		noel 3512	. . . . . . . . . . 11 |- -. k e. (/)
65	6	eleq2d 2302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( A i^i B ) <-> k e. (/) ) )
66		elin 3402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( A i^i B ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) )
67	65, 66	bitr3di 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. (/) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) )
68	64, 67	mtbii 681	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
69		imnan 697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. A -> -. k e. B ) <-> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
70	68, 69	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
71	70	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
72	71	iffalsed 3632	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = 0 )
73	63, 72	oveq12d 6068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( C + 0 ) )
74	24	addridd 8422	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C + 0 ) = C )
75	73, 74	eqtrd 2265	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
76	70	con2d 629	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. B -> -. k e. A ) )
77	76	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> -. k e. A )
78	77	iffalsed 3632	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
79		iftrue 3627	. . . . . . . 8 |- ( k e. B -> if ( k e. B , C , 0 ) = C )
80	79	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = C )
81	78, 80	oveq12d 6068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + C ) )
82	41	addlidd 8423	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( 0 + C ) = C )
83	81, 82	eqtrd 2265	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
84	75, 83	jaodan 805	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. A \/ k e. B ) ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
85	61, 84	syldan 282	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
86	85	sumeq2dv 12053	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = sum_ k e. U C )
87	44, 57, 86	3eqtr2rd 2272	1 |- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   u. cun 3209   i^i cin 3210   C_ wss 3211   (/)c0 3508   ifcif 3620   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Fincfn 6975   CCcc 8125   0cc0 8127   + caddc 8130   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853   sum_csu 12038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-sumdc 12039

This theorem is referenced by:  fsumsplitf  12094  sumpr  12099  sumtp  12100  fsumm1  12102  fsum1p  12104  fsumsplitsnun  12105  fsum2dlemstep  12120  fsumconst  12140  fsumlessfi  12146  fsumabs  12151  fsumiun  12163  mertenslemi1  12221  bitsinv1  12648  fsumcncntop  15432  dvmptfsum  15590  perfectlem2  15868  lgsquadlem2  15951  cvgcmp2nlemabs  16816