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Theorem fsumsplit 10797
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit.1  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
fsumsplit.2  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
fsumsplit.3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
fsumsplit.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumsplit  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    U, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem fsumsplit
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 3163 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
2 fsumsplit.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
31, 2syl5sseqr 3075 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
4 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
54orcd 687 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  A
) )
6 fsumsplit.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
7 disjel 3337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  -.  x  e.  B )
87ex 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B )
)
98con2d 589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A )
)
109imp 122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
116, 10sylan 277 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
1211adantlr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
1312olcd 688 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  A
) )
142eleq2d 2157 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U  <->  x  e.  ( A  u.  B ) ) )
1514biimpa 290 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  x  e.  ( A  u.  B
) )
16 elun 3141 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
1715, 16sylib 120 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  B )
)
185, 13, 17mpjaodan 747 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  A
) )
19 df-dc 781 . . . . . 6  |-  (DECID  x  e.  A  <->  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  A ) )
2018, 19sylibr 132 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  -> DECID  x  e.  A
)
2120ralrimiva 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U DECID  x  e.  A )
223sselda 3025 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  U )
23 fsumsplit.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
2422, 23syldan 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2524ralrimiva 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
26 fsumsplit.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
2726olcd 688 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0  e.  ZZ  /\  U  C_  ( ZZ>= `  0 )  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  0 )DECID  x  e.  U )  \/  U  e.  Fin ) )
283, 21, 25, 27isumss2 10781 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
29 ssun2 3164 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
3029, 2syl5sseqr 3075 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
316ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  A )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
3231, 7sylancom 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  A )  ->  -.  x  e.  B )
3332olcd 688 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
3417orcanai 875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  -.  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
3534orcd 687 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
3633, 35, 18mpjaodan 747 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
37 df-dc 781 . . . . . 6  |-  (DECID  x  e.  B  <->  ( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B ) )
3836, 37sylibr 132 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  -> DECID  x  e.  B
)
3938ralrimiva 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U DECID  x  e.  B )
4030sselda 3025 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  U )
4140, 23syldan 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
4241ralrimiva 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
4330, 39, 42, 27isumss2 10781 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
4428, 43oveq12d 5670 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )  =  ( sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
45 0cnd 7479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  0  e.  CC )
46 eleq1w 2148 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
x  e.  A  <->  k  e.  A ) )
4746dcbid 786 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
4821adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  A. x  e.  U DECID  x  e.  A
)
49 simpr 108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  k  e.  U )
5047, 48, 49rspcdva 2727 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  -> DECID  k  e.  A
)
5123, 45, 50ifcldcd 3426 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
52 eleq1w 2148 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
x  e.  B  <->  k  e.  B ) )
5352dcbid 786 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (DECID  x  e.  B  <-> DECID  k  e.  B )
)
5439adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  A. x  e.  U DECID  x  e.  B
)
5553, 54, 49rspcdva 2727 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  -> DECID  k  e.  B
)
5623, 45, 55ifcldcd 3426 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
5726, 51, 56fsumadd 10796 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
582eleq2d 2157 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  k  e.  ( A  u.  B ) ) )
59 elun 3141 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
6058, 59syl6bb 194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B )
) )
6160biimpa 290 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  (
k  e.  A  \/  k  e.  B )
)
62 iftrue 3398 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
6362adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
64 noel 3290 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  k  e.  (/)
65 elin 3183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
666eleq2d 2157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <-> 
k  e.  (/) ) )
6765, 66syl5rbbr 193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (/)  <->  (
k  e.  A  /\  k  e.  B )
) )
6864, 67mtbii 634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
69 imnan 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
)  <->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
7068, 69sylibr 132 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
) )
7170imp 122 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
7271iffalsed 3403 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
7363, 72oveq12d 5670 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( C  + 
0 ) )
7424addid1d 7629 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
7573, 74eqtrd 2120 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  C )
7670con2d 589 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  ->  -.  k  e.  A
) )
7776imp 122 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  -.  k  e.  A )
7877iffalsed 3403 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
79 iftrue 3398 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
8079adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
8178, 80oveq12d 5670 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  C ) )
8241addid2d 7630 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
0  +  C )  =  C )
8381, 82eqtrd 2120 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  C )
8475, 83jaodan 746 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )  -> 
( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )  =  C )
8561, 84syldan 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  C )
8685sumeq2dv 10753 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  sum_ k  e.  U  C )
8744, 57, 863eqtr2rd 2127 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664  DECID wdc 780    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359    u. cun 2997    i^i cin 2998    C_ wss 2999   (/)c0 3286   ifcif 3393   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   Fincfn 6455   CCcc 7346   0cc0 7348    + caddc 7351   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017   sum_csu 10738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663  df-isum 10739
This theorem is referenced by:  fsumsplitf  10798  sumpr  10803  sumtp  10804  fsumm1  10806  fsum1p  10808  fsumsplitsnun  10809  fsum2dlemstep  10824  fsumconst  10844  fsumlessfi  10850  fsumabs  10855  fsumiun  10867  mertenslemi1  10925
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