Theorem fsumsplit 11751

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit.1	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fsumsplit.2	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fsumsplit.3	|- ( ph -> U e. Fin )
fsumsplit.4	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit	|- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   ph, k   U, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem fsumsplit

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3336	. . . . 5 |- A C_ ( A u. B )
2		fsumsplit.2	. . . . 5 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
3	1, 2	sseqtrrid 3244	. . . 4 |- ( ph -> A C_ U )
4		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> x e. A )
5	4	orcd 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
6		fsumsplit.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
7		disjel 3515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. A ) -> -. x e. B )
8	7	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( x e. A -> -. x e. B ) )
9	8	con2d 625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( x e. B -> -. x e. A ) )
10	9	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. B ) -> -. x e. A )
11	6, 10	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> -. x e. A )
12	11	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. B ) -> -. x e. A )
13	12	olcd 736	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. B ) -> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
14	2	eleq2d 2275	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. U <-> x e. ( A u. B ) ) )
15	14	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> x e. ( A u. B ) )
16		elun 3314	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( x e. A \/ x e. B ) )
18	5, 13, 17	mpjaodan 800	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
19		df-dc 837	. . . . . 6 |- (DECID x e. A <-> ( x e. A \/ -. x e. A ) )
20	18, 19	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> DECID x e. A )
21	20	ralrimiva 2579	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. U DECID x e. A )
22	3	sselda 3193	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. U )
23		fsumsplit.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
24	22, 23	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
25	24	ralrimiva 2579	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
26		fsumsplit.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. Fin )
27	26	olcd 736	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0 e. ZZ /\ U C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ A. x e. ( ZZ>= ` 0 )DECID x e. U ) \/ U e. Fin ) )
28	3, 21, 25, 27	isumss2 11737	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) )
29		ssun2 3337	. . . . 5 |- B C_ ( A u. B )
30	29, 2	sseqtrrid 3244	. . . 4 |- ( ph -> B C_ U )
31	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> ( A i^i B ) = (/) )
32	31, 7	sylancom 420	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> -. x e. B )
33	32	olcd 736	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ x e. A ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
34	17	orcanai 930	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ -. x e. A ) -> x e. B )
35	34	orcd 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ -. x e. A ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
36	33, 35, 18	mpjaodan 800	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
37		df-dc 837	. . . . . 6 |- (DECID x e. B <-> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
38	36, 37	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> DECID x e. B )
39	38	ralrimiva 2579	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. U DECID x e. B )
40	30	sselda 3193	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. U )
41	40, 23	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
42	41	ralrimiva 2579	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
43	30, 39, 42, 27	isumss2 11737	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. B C = sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) )
44	28, 43	oveq12d 5964	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) = ( sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) ) )
45		0cnd 8067	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> 0 e. CC )
46		eleq1w 2266	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( x e. A <-> k e. A ) )
47	46	dcbid 840	. . . . 5 |- ( x = k -> (DECID x e. A <-> DECID k e. A ) )
48	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> A. x e. U DECID x e. A )
49		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> k e. U )
50	47, 48, 49	rspcdva 2882	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. A )
51	23, 45, 50	ifcldcd 3608	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. A , C , 0 ) e. CC )
52		eleq1w 2266	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( x e. B <-> k e. B ) )
53	52	dcbid 840	. . . . 5 |- ( x = k -> (DECID x e. B <-> DECID k e. B ) )
54	39	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> A. x e. U DECID x e. B )
55	53, 54, 49	rspcdva 2882	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. B )
56	23, 45, 55	ifcldcd 3608	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. B , C , 0 ) e. CC )
57	26, 51, 56	fsumadd 11750	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( sum_ k e. U if ( k e. A , C , 0 ) + sum_ k e. U if ( k e. B , C , 0 ) ) )
58	2	eleq2d 2275	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. U <-> k e. ( A u. B ) ) )
59		elun 3314	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
60	58, 59	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. U <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
61	60	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( k e. A \/ k e. B ) )
62		iftrue 3576	. . . . . . . 8 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
63	62	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
64		noel 3464	. . . . . . . . . . 11 |- -. k e. (/)
65	6	eleq2d 2275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( A i^i B ) <-> k e. (/) ) )
66		elin 3356	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( A i^i B ) <-> ( k e. A /\ k e. B ) )
67	65, 66	bitr3di 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. (/) <-> ( k e. A /\ k e. B ) ) )
68	64, 67	mtbii 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
69		imnan 692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. A -> -. k e. B ) <-> -. ( k e. A /\ k e. B ) )
70	68, 69	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
71	70	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
72	71	iffalsed 3581	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = 0 )
73	63, 72	oveq12d 5964	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( C + 0 ) )
74	24	addridd 8223	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C + 0 ) = C )
75	73, 74	eqtrd 2238	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
76	70	con2d 625	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. B -> -. k e. A ) )
77	76	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> -. k e. A )
78	77	iffalsed 3581	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
79		iftrue 3576	. . . . . . . 8 |- ( k e. B -> if ( k e. B , C , 0 ) = C )
80	79	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 0 ) = C )
81	78, 80	oveq12d 5964	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = ( 0 + C ) )
82	41	addlidd 8224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( 0 + C ) = C )
83	81, 82	eqtrd 2238	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
84	75, 83	jaodan 799	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. A \/ k e. B ) ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
85	61, 84	syldan 282	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = C )
86	85	sumeq2dv 11712	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U ( if ( k e. A , C , 0 ) + if ( k e. B , C , 0 ) ) = sum_ k e. U C )
87	44, 57, 86	3eqtr2rd 2245	1 |- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   u. cun 3164   i^i cin 3165   C_ wss 3166   (/)c0 3460   ifcif 3571   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   Fincfn 6829   CCcc 7925   0cc0 7927   + caddc 7930   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   sum_csu 11697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-frec 6479  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-ihash 10923  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-clim 11623  df-sumdc 11698

This theorem is referenced by:  fsumsplitf  11752  sumpr  11757  sumtp  11758  fsumm1  11760  fsum1p  11762  fsumsplitsnun  11763  fsum2dlemstep  11778  fsumconst  11798  fsumlessfi  11804  fsumabs  11809  fsumiun  11821  mertenslemi1  11879  bitsinv1  12306  fsumcncntop  15072  dvmptfsum  15230  perfectlem2  15505  lgsquadlem2  15588  cvgcmp2nlemabs  16008