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Theorem fsumsplit 11450
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit.1  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
fsumsplit.2  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
fsumsplit.3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
fsumsplit.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumsplit  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    U, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem fsumsplit
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 3313 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
2 fsumsplit.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
31, 2sseqtrrid 3221 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
4 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
54orcd 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  A
) )
6 fsumsplit.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
7 disjel 3492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  -.  x  e.  B )
87ex 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B )
)
98con2d 625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A )
)
109imp 124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
116, 10sylan 283 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
1211adantlr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
1312olcd 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  A
) )
142eleq2d 2259 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U  <->  x  e.  ( A  u.  B ) ) )
1514biimpa 296 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  x  e.  ( A  u.  B
) )
16 elun 3291 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
1715, 16sylib 122 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  B )
)
185, 13, 17mpjaodan 799 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  A
) )
19 df-dc 836 . . . . . 6  |-  (DECID  x  e.  A  <->  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  A ) )
2018, 19sylibr 134 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  -> DECID  x  e.  A
)
2120ralrimiva 2563 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U DECID  x  e.  A )
223sselda 3170 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  U )
23 fsumsplit.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
2422, 23syldan 282 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2524ralrimiva 2563 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
26 fsumsplit.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
2726olcd 735 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0  e.  ZZ  /\  U  C_  ( ZZ>= `  0 )  /\  A. x  e.  (
ZZ>= `  0 )DECID  x  e.  U )  \/  U  e.  Fin ) )
283, 21, 25, 27isumss2 11436 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
29 ssun2 3314 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
3029, 2sseqtrrid 3221 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
316ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  A )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
3231, 7sylancom 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  A )  ->  -.  x  e.  B )
3332olcd 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
3417orcanai 929 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  -.  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
3534orcd 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
3633, 35, 18mpjaodan 799 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
37 df-dc 836 . . . . . 6  |-  (DECID  x  e.  B  <->  ( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B ) )
3836, 37sylibr 134 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  -> DECID  x  e.  B
)
3938ralrimiva 2563 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U DECID  x  e.  B )
4030sselda 3170 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  U )
4140, 23syldan 282 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
4241ralrimiva 2563 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
4330, 39, 42, 27isumss2 11436 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
4428, 43oveq12d 5915 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )  =  ( sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
45 0cnd 7981 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  0  e.  CC )
46 eleq1w 2250 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
x  e.  A  <->  k  e.  A ) )
4746dcbid 839 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
4821adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  A. x  e.  U DECID  x  e.  A
)
49 simpr 110 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  k  e.  U )
5047, 48, 49rspcdva 2861 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  -> DECID  k  e.  A
)
5123, 45, 50ifcldcd 3585 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
52 eleq1w 2250 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
x  e.  B  <->  k  e.  B ) )
5352dcbid 839 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (DECID  x  e.  B  <-> DECID  k  e.  B )
)
5439adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  A. x  e.  U DECID  x  e.  B
)
5553, 54, 49rspcdva 2861 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  -> DECID  k  e.  B
)
5623, 45, 55ifcldcd 3585 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
5726, 51, 56fsumadd 11449 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
582eleq2d 2259 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  k  e.  ( A  u.  B ) ) )
59 elun 3291 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
6058, 59bitrdi 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B )
) )
6160biimpa 296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  (
k  e.  A  \/  k  e.  B )
)
62 iftrue 3554 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
6362adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
64 noel 3441 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  k  e.  (/)
656eleq2d 2259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <-> 
k  e.  (/) ) )
66 elin 3333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
6765, 66bitr3di 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (/)  <->  (
k  e.  A  /\  k  e.  B )
) )
6864, 67mtbii 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
69 imnan 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
)  <->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
7068, 69sylibr 134 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
) )
7170imp 124 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
7271iffalsed 3559 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
7363, 72oveq12d 5915 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( C  + 
0 ) )
7424addridd 8137 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
7573, 74eqtrd 2222 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  C )
7670con2d 625 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  ->  -.  k  e.  A
) )
7776imp 124 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  -.  k  e.  A )
7877iffalsed 3559 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
79 iftrue 3554 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
8079adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
8178, 80oveq12d 5915 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  C ) )
8241addlidd 8138 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
0  +  C )  =  C )
8381, 82eqtrd 2222 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  C )
8475, 83jaodan 798 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )  -> 
( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )  =  C )
8561, 84syldan 282 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  C )
8685sumeq2dv 11411 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  sum_ k  e.  U  C )
8744, 57, 863eqtr2rd 2229 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709  DECID wdc 835    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468    u. cun 3142    i^i cin 3143    C_ wss 3144   (/)c0 3437   ifcif 3549   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Fincfn 6767   CCcc 7840   0cc0 7842    + caddc 7845   ZZcz 9284   ZZ>=cuz 9559   sum_csu 11396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-ihash 10791  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397
This theorem is referenced by:  fsumsplitf  11451  sumpr  11456  sumtp  11457  fsumm1  11459  fsum1p  11461  fsumsplitsnun  11462  fsum2dlemstep  11477  fsumconst  11497  fsumlessfi  11503  fsumabs  11508  fsumiun  11520  mertenslemi1  11578  fsumcncntop  14533  cvgcmp2nlemabs  15259
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