ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum3ser Unicode version

Theorem fsum3ser 10854
Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. The recursive definition follows as fsum1 10869 and fsump1 10877, which should make our notation clear and from which, along with closure fsumcl 10857, we will derive the basic properties of finite sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum3ser.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  A )
fsum3ser.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsum3ser.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsum3ser  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, N    ph, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem fsum3ser
StepHypRef Expression
1 fsum3ser.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  A )
2 fsum3ser.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 fsum3ser.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  CC )
41, 2, 3fisumser 10853 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  N ) )
5 eluzel2 9087 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
62, 5syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
71, 3eqeltrd 2165 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
86, 7iseqseq3 9965 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ,  CC )  =  seq M (  +  ,  F ) )
98fveq1d 5322 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  N )  =  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
)
104, 9eqtrd 2121 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1290    e. wcel 1439   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   CCcc 7411    + caddc 7416   ZZcz 8813   ZZ>=cuz 9082   ...cfz 9487    seqcseq4 9914    seqcseq 9915   sum_csu 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806
This theorem is referenced by:  iserabs  10932  isumsplit  10948  trireciplem  10957  geolim  10968  geo2lim  10973  cvgratnnlemseq  10983  mertenslem2  10993  mertensabs  10994  efcvgfsum  11020  effsumlt  11045
  Copyright terms: Public domain W3C validator