Theorem explecnv 11384

Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number A whose absolute value is smaller than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
explecnv.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
explecnv.2	|- ( ph -> F e. V )
explecnv.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
explecnv.5	|- ( ph -> A e. RR )
explecnv.4	|- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
explecnv.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
explecnv.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( A ^ k ) )

Assertion

Ref	Expression
explecnv	|- ( ph -> F ~~> 0 )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k   k, F   k, Z   k, M

Allowed substitution hint:   V( k)

Proof of Theorem explecnv

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2157	. . 3 |- ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) )
2		0z 9161	. . . 4 |- 0 e. ZZ
3		explecnv.3	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		0zd 9162	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
5		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
6		zdcle 9223	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID M <_ 0 )
7	6	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID M <_ 0 )
8	4, 5, 7	ifcldcd 3540	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> if ( M <_ 0 , 0 , M ) e. ZZ )
9	2, 3, 8	sylancr 411	. . 3 |- ( ph -> if ( M <_ 0 , 0 , M ) e. ZZ )
10		explecnv.5	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
11	10	recnd 7889	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
12		explecnv.4	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
13	11, 12	expcnv 11383	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )
14		zex 9159	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
15		explecnv.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
16		uzssz 9441	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
17	15, 16	eqsstri 3160	. . . . . 6 |- Z C_ ZZ
18	14, 17	ssexi 4102	. . . . 5 |- Z e. _V
19	18	mptex 5690	. . . 4 |- ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) e. _V
20	19	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) e. _V )
21		nn0uz 9456	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
22	15, 21	ineq12i 3306	. . . . . . . . 9 |- ( Z i^i NN0 ) = ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` 0 ) )
23		uzin 9454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` 0 ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) )
24	3, 2, 23	sylancl 410	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` 0 ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) )
25	22, 24	syl5req 2203	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) = ( Z i^i NN0 ) )
26	25	eleq2d 2227	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) <-> k e. ( Z i^i NN0 ) ) )
27	26	biimpa 294	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> k e. ( Z i^i NN0 ) )
28	27	elin2d 3297	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> k e. NN0 )
29	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> A e. CC )
30	29, 28	expcld 10533	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
31		oveq2 5826	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( A ^ n ) = ( A ^ k ) )
32		eqid 2157	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) )
33	31, 32	fvmptg 5541	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
34	28, 30, 33	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
35	10	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> A e. RR )
36	35, 28	reexpcld 10550	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( A ^ k ) e. RR )
37	34, 36	eqeltrd 2234	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) e. RR )
38	27	elin1d 3296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> k e. Z )
39		explecnv.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
40	38, 39	syldan 280	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
41	40	abscld 11063	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
42		2fveq3 5470	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( abs ` ( F ` n ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
43		eqid 2157	. . . . . 6 |- ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) = ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) )
44	42, 43	fvmptg 5541	. . . . 5 |- ( ( k e. Z /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
45	38, 41, 44	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
46	45, 41	eqeltrd 2234	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) e. RR )
47		explecnv.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( A ^ k ) )
48	38, 47	syldan 280	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( A ^ k ) )
49	48, 45, 34	3brtr4d 3996	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) )
50	40	absge0d 11066	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` k ) ) )
51	50, 45	breqtrrd 3992	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> 0 <_ ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) )
52	1, 9, 13, 20, 37, 46, 49, 51	climsqz2 11215	. 2 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ~~> 0 )
53		explecnv.2	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
54		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
55	39	abscld 11063	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
56	54, 55, 44	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
57	15, 3, 53, 20, 39, 56	climabs0 11186	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ~~> 0 ) )
58	52, 57	mpbird 166	1 |- ( ph -> F ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 820   = wceq 1335   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   i^i cin 3101   ifcif 3505   class class class wbr 3965   |-> cmpt 4025   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   CCcc 7713   RRcr 7714   0cc0 7715   1c1 7716   < clt 7895   <_ cle 7896   NN0cn0 9073   ZZcz 9150   ZZ>=cuz 9422   ^cexp 10400   abscabs 10879   ~~> cli 11157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158

This theorem is referenced by: (None)