ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  explecnv Unicode version

Theorem explecnv 11225
Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number  A whose absolute value is smaller than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
explecnv.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
explecnv.2  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
explecnv.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
explecnv.5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
explecnv.4  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
explecnv.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
explecnv.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( A ^ k
) )
Assertion
Ref Expression
explecnv  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k    k, F    k, Z    k, M
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem explecnv
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2115 . . 3  |-  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M
) )  =  (
ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) )
2 0z 9019 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
3 explecnv.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 0zd 9020 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  0  e.  ZZ )
5 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
6 zdcle 9081 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  M  <_  0 )
76ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  -> DECID  M  <_  0 )
84, 5, 7ifcldcd 3475 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
0 ,  0 ,  M )  e.  ZZ )
92, 3, 8sylancr 408 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( M  <_ 
0 ,  0 ,  M )  e.  ZZ )
10 explecnv.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1110recnd 7758 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
12 explecnv.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
1311, 12expcnv 11224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
14 zex 9017 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
15 explecnv.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
16 uzssz 9297 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
1715, 16eqsstri 3097 . . . . . 6  |-  Z  C_  ZZ
1814, 17ssexi 4034 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
1918mptex 5612 . . . 4  |-  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n
) ) )  e. 
_V
2019a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) )  e.  _V )
21 nn0uz 9312 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2215, 21ineq12i 3243 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  i^i  NN0 )  =  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  ( ZZ>= `  0 )
)
23 uzin 9310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= ` 
0 ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )
243, 2, 23sylancl 407 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= ` 
0 ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )
2522, 24syl5req 2161 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) )  =  ( Z  i^i  NN0 ) )
2625eleq2d 2185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) )  <-> 
k  e.  ( Z  i^i  NN0 ) ) )
2726biimpa 292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  k  e.  ( Z  i^i  NN0 )
)
2827elin2d 3234 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
2911adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  A  e.  CC )
3029, 28expcld 10375 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
31 oveq2 5748 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ k
) )
32 eqid 2115 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )
3331, 32fvmptg 5463 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( A ^ k )  e.  CC )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) ) `  k )  =  ( A ^ k ) )
3428, 30, 33syl2anc 406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
3510adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  A  e.  RR )
3635, 28reexpcld 10392 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( A ^ k )  e.  RR )
3734, 36eqeltrd 2192 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  e.  RR )
3827elin1d 3233 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  k  e.  Z )
39 explecnv.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
4038, 39syldan 278 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
4140abscld 10904 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
42 2fveq3 5392 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
43 eqid 2115 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n
) ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) )
4442, 43fvmptg 5463 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  RR )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( F `  k
) ) )
4538, 41, 44syl2anc 406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) ) `  k )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
4645, 41eqeltrd 2192 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) ) `  k )  e.  RR )
47 explecnv.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( A ^ k
) )
4838, 47syldan 278 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  ( A ^ k ) )
4948, 45, 343brtr4d 3928 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) ) `  k )  <_  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k ) )
5040absge0d 10907 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
5150, 45breqtrrd 3924 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  0  <_  ( ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) ) `  k
) )
521, 9, 13, 20, 37, 46, 49, 51climsqz2 11056 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) )  ~~>  0 )
53 explecnv.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
54 simpr 109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
5539abscld 10904 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
5654, 55, 44syl2anc 406 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( F `  k
) ) )
5715, 3, 53, 20, 39, 56climabs0 11027 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  0  <->  (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) )  ~~>  0 ) )
5852, 57mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463   _Vcvv 2658    i^i cin 3038   ifcif 3442   class class class wbr 3897    |-> cmpt 3957   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585    < clt 7764    <_ cle 7765   NN0cn0 8931   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278   ^cexp 10243   abscabs 10720    ~~> cli 10998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator