Theorem explecnv 11651

Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number A whose absolute value is smaller than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
explecnv.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
explecnv.2	|- ( ph -> F e. V )
explecnv.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
explecnv.5	|- ( ph -> A e. RR )
explecnv.4	|- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
explecnv.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
explecnv.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( A ^ k ) )

Assertion

Ref	Expression
explecnv	|- ( ph -> F ~~> 0 )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k   k, F   k, Z   k, M

Allowed substitution hint:   V( k)

Proof of Theorem explecnv

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 |- ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) )
2		0z 9331	. . . 4 |- 0 e. ZZ
3		explecnv.3	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		0zd 9332	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
5		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
6		zdcle 9396	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID M <_ 0 )
7	6	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID M <_ 0 )
8	4, 5, 7	ifcldcd 3594	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> if ( M <_ 0 , 0 , M ) e. ZZ )
9	2, 3, 8	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> if ( M <_ 0 , 0 , M ) e. ZZ )
10		explecnv.5	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
11	10	recnd 8050	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
12		explecnv.4	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
13	11, 12	expcnv 11650	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )
14		zex 9329	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
15		explecnv.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
16		uzssz 9615	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
17	15, 16	eqsstri 3212	. . . . . 6 |- Z C_ ZZ
18	14, 17	ssexi 4168	. . . . 5 |- Z e. _V
19	18	mptex 5785	. . . 4 |- ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) e. _V
20	19	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) e. _V )
21		nn0uz 9630	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
22	15, 21	ineq12i 3359	. . . . . . . . 9 |- ( Z i^i NN0 ) = ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` 0 ) )
23		uzin 9628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` 0 ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) )
24	3, 2, 23	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` 0 ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) )
25	22, 24	eqtr2id 2239	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) = ( Z i^i NN0 ) )
26	25	eleq2d 2263	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) <-> k e. ( Z i^i NN0 ) ) )
27	26	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> k e. ( Z i^i NN0 ) )
28	27	elin2d 3350	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> k e. NN0 )
29	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> A e. CC )
30	29, 28	expcld 10747	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
31		oveq2 5927	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( A ^ n ) = ( A ^ k ) )
32		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) )
33	31, 32	fvmptg 5634	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
34	28, 30, 33	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
35	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> A e. RR )
36	35, 28	reexpcld 10764	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( A ^ k ) e. RR )
37	34, 36	eqeltrd 2270	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) e. RR )
38	27	elin1d 3349	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> k e. Z )
39		explecnv.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
40	38, 39	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
41	40	abscld 11328	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
42		2fveq3 5560	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( abs ` ( F ` n ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
43		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) = ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) )
44	42, 43	fvmptg 5634	. . . . 5 |- ( ( k e. Z /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
45	38, 41, 44	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
46	45, 41	eqeltrd 2270	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) e. RR )
47		explecnv.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( A ^ k ) )
48	38, 47	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( A ^ k ) )
49	48, 45, 34	3brtr4d 4062	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) )
50	40	absge0d 11331	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` k ) ) )
51	50, 45	breqtrrd 4058	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> 0 <_ ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) )
52	1, 9, 13, 20, 37, 46, 49, 51	climsqz2 11482	. 2 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ~~> 0 )
53		explecnv.2	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
54		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
55	39	abscld 11328	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
56	54, 55, 44	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
57	15, 3, 53, 20, 39, 56	climabs0 11453	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ~~> 0 ) )
58	52, 57	mpbird 167	1 |- ( ph -> F ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   i^i cin 3153   ifcif 3558   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   < clt 8056   <_ cle 8057   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   ^cexp 10612   abscabs 11144   ~~> cli 11424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425

This theorem is referenced by: (None)