Theorem explecnv 11515

Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number A whose absolute value is smaller than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
explecnv.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
explecnv.2	|- ( ph -> F e. V )
explecnv.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
explecnv.5	|- ( ph -> A e. RR )
explecnv.4	|- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
explecnv.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
explecnv.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( A ^ k ) )

Assertion

Ref	Expression
explecnv	|- ( ph -> F ~~> 0 )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k   k, F   k, Z   k, M

Allowed substitution hint:   V( k)

Proof of Theorem explecnv

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . 3 |- ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) )
2		0z 9266	. . . 4 |- 0 e. ZZ
3		explecnv.3	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		0zd 9267	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
5		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
6		zdcle 9331	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID M <_ 0 )
7	6	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID M <_ 0 )
8	4, 5, 7	ifcldcd 3572	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> if ( M <_ 0 , 0 , M ) e. ZZ )
9	2, 3, 8	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> if ( M <_ 0 , 0 , M ) e. ZZ )
10		explecnv.5	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
11	10	recnd 7988	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
12		explecnv.4	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
13	11, 12	expcnv 11514	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )
14		zex 9264	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
15		explecnv.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
16		uzssz 9549	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
17	15, 16	eqsstri 3189	. . . . . 6 |- Z C_ ZZ
18	14, 17	ssexi 4143	. . . . 5 |- Z e. _V
19	18	mptex 5744	. . . 4 |- ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) e. _V
20	19	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) e. _V )
21		nn0uz 9564	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
22	15, 21	ineq12i 3336	. . . . . . . . 9 |- ( Z i^i NN0 ) = ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` 0 ) )
23		uzin 9562	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` 0 ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) )
24	3, 2, 23	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` 0 ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) )
25	22, 24	eqtr2id 2223	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) = ( Z i^i NN0 ) )
26	25	eleq2d 2247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) <-> k e. ( Z i^i NN0 ) ) )
27	26	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> k e. ( Z i^i NN0 ) )
28	27	elin2d 3327	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> k e. NN0 )
29	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> A e. CC )
30	29, 28	expcld 10656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
31		oveq2 5885	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( A ^ n ) = ( A ^ k ) )
32		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) )
33	31, 32	fvmptg 5594	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
34	28, 30, 33	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
35	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> A e. RR )
36	35, 28	reexpcld 10673	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( A ^ k ) e. RR )
37	34, 36	eqeltrd 2254	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) e. RR )
38	27	elin1d 3326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> k e. Z )
39		explecnv.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
40	38, 39	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
41	40	abscld 11192	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
42		2fveq3 5522	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( abs ` ( F ` n ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
43		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) = ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) )
44	42, 43	fvmptg 5594	. . . . 5 |- ( ( k e. Z /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
45	38, 41, 44	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
46	45, 41	eqeltrd 2254	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) e. RR )
47		explecnv.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( A ^ k ) )
48	38, 47	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( A ^ k ) )
49	48, 45, 34	3brtr4d 4037	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) )
50	40	absge0d 11195	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` k ) ) )
51	50, 45	breqtrrd 4033	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> 0 <_ ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) )
52	1, 9, 13, 20, 37, 46, 49, 51	climsqz2 11346	. 2 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ~~> 0 )
53		explecnv.2	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
54		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
55	39	abscld 11192	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
56	54, 55, 44	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
57	15, 3, 53, 20, 39, 56	climabs0 11317	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ~~> 0 ) )
58	52, 57	mpbird 167	1 |- ( ph -> F ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   i^i cin 3130   ifcif 3536   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   < clt 7994   <_ cle 7995   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   ^cexp 10521   abscabs 11008   ~~> cli 11288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289

This theorem is referenced by: (None)