Theorem explecnv 11672

Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number A whose absolute value is smaller than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
explecnv.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
explecnv.2	|- ( ph -> F e. V )
explecnv.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
explecnv.5	|- ( ph -> A e. RR )
explecnv.4	|- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
explecnv.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
explecnv.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( A ^ k ) )

Assertion

Ref	Expression
explecnv	|- ( ph -> F ~~> 0 )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k   k, F   k, Z   k, M

Allowed substitution hint:   V( k)

Proof of Theorem explecnv

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) )
2		0z 9339	. . . 4 |- 0 e. ZZ
3		explecnv.3	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		0zd 9340	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
5		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
6		zdcle 9404	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID M <_ 0 )
7	6	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID M <_ 0 )
8	4, 5, 7	ifcldcd 3598	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> if ( M <_ 0 , 0 , M ) e. ZZ )
9	2, 3, 8	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> if ( M <_ 0 , 0 , M ) e. ZZ )
10		explecnv.5	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
11	10	recnd 8057	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
12		explecnv.4	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
13	11, 12	expcnv 11671	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )
14		zex 9337	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
15		explecnv.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
16		uzssz 9623	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
17	15, 16	eqsstri 3216	. . . . . 6 |- Z C_ ZZ
18	14, 17	ssexi 4172	. . . . 5 |- Z e. _V
19	18	mptex 5789	. . . 4 |- ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) e. _V
20	19	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) e. _V )
21		nn0uz 9638	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
22	15, 21	ineq12i 3363	. . . . . . . . 9 |- ( Z i^i NN0 ) = ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` 0 ) )
23		uzin 9636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` 0 ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) )
24	3, 2, 23	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ZZ>= ` M ) i^i ( ZZ>= ` 0 ) ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) )
25	22, 24	eqtr2id 2242	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) = ( Z i^i NN0 ) )
26	25	eleq2d 2266	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) <-> k e. ( Z i^i NN0 ) ) )
27	26	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> k e. ( Z i^i NN0 ) )
28	27	elin2d 3354	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> k e. NN0 )
29	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> A e. CC )
30	29, 28	expcld 10767	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
31		oveq2 5931	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( A ^ n ) = ( A ^ k ) )
32		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) )
33	31, 32	fvmptg 5638	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
34	28, 30, 33	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
35	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> A e. RR )
36	35, 28	reexpcld 10784	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( A ^ k ) e. RR )
37	34, 36	eqeltrd 2273	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) e. RR )
38	27	elin1d 3353	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> k e. Z )
39		explecnv.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
40	38, 39	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
41	40	abscld 11348	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
42		2fveq3 5564	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( abs ` ( F ` n ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
43		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) = ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) )
44	42, 43	fvmptg 5638	. . . . 5 |- ( ( k e. Z /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
45	38, 41, 44	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
46	45, 41	eqeltrd 2273	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) e. RR )
47		explecnv.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( A ^ k ) )
48	38, 47	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( A ^ k ) )
49	48, 45, 34	3brtr4d 4066	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) )
50	40	absge0d 11351	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` k ) ) )
51	50, 45	breqtrrd 4062	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` if ( M <_ 0 , 0 , M ) ) ) -> 0 <_ ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) )
52	1, 9, 13, 20, 37, 46, 49, 51	climsqz2 11503	. 2 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ~~> 0 )
53		explecnv.2	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
54		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
55	39	abscld 11348	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
56	54, 55, 44	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
57	15, 3, 53, 20, 39, 56	climabs0 11474	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 0 <-> ( n e. Z |-> ( abs ` ( F ` n ) ) ) ~~> 0 ) )
58	52, 57	mpbird 167	1 |- ( ph -> F ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   i^i cin 3156   ifcif 3562   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   CCcc 7879   RRcr 7880   0cc0 7881   1c1 7882   < clt 8063   <_ cle 8064   NN0cn0 9251   ZZcz 9328   ZZ>=cuz 9603   ^cexp 10632   abscabs 11164   ~~> cli 11445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-clim 11446

This theorem is referenced by: (None)