ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  explecnv Unicode version

Theorem explecnv 11242
Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number  A whose absolute value is smaller than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
explecnv.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
explecnv.2  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
explecnv.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
explecnv.5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
explecnv.4  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
explecnv.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
explecnv.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( A ^ k
) )
Assertion
Ref Expression
explecnv  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k    k, F    k, Z    k, M
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem explecnv
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2117 . . 3  |-  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M
) )  =  (
ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) )
2 0z 9033 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
3 explecnv.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 0zd 9034 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  0  e.  ZZ )
5 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
6 zdcle 9095 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  M  <_  0 )
76ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  -> DECID  M  <_  0 )
84, 5, 7ifcldcd 3477 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
0 ,  0 ,  M )  e.  ZZ )
92, 3, 8sylancr 410 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( M  <_ 
0 ,  0 ,  M )  e.  ZZ )
10 explecnv.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1110recnd 7762 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
12 explecnv.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
1311, 12expcnv 11241 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
14 zex 9031 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
15 explecnv.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
16 uzssz 9313 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
1715, 16eqsstri 3099 . . . . . 6  |-  Z  C_  ZZ
1814, 17ssexi 4036 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
1918mptex 5614 . . . 4  |-  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n
) ) )  e. 
_V
2019a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) )  e.  _V )
21 nn0uz 9328 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2215, 21ineq12i 3245 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  i^i  NN0 )  =  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  ( ZZ>= `  0 )
)
23 uzin 9326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= ` 
0 ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )
243, 2, 23sylancl 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= ` 
0 ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )
2522, 24syl5req 2163 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) )  =  ( Z  i^i  NN0 ) )
2625eleq2d 2187 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) )  <-> 
k  e.  ( Z  i^i  NN0 ) ) )
2726biimpa 294 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  k  e.  ( Z  i^i  NN0 )
)
2827elin2d 3236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
2911adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  A  e.  CC )
3029, 28expcld 10392 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
31 oveq2 5750 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ k
) )
32 eqid 2117 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )
3331, 32fvmptg 5465 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( A ^ k )  e.  CC )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) ) `  k )  =  ( A ^ k ) )
3428, 30, 33syl2anc 408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
3510adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  A  e.  RR )
3635, 28reexpcld 10409 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( A ^ k )  e.  RR )
3734, 36eqeltrd 2194 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  e.  RR )
3827elin1d 3235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  k  e.  Z )
39 explecnv.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
4038, 39syldan 280 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
4140abscld 10921 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
42 2fveq3 5394 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
43 eqid 2117 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n
) ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) )
4442, 43fvmptg 5465 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  RR )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( F `  k
) ) )
4538, 41, 44syl2anc 408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) ) `  k )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
4645, 41eqeltrd 2194 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) ) `  k )  e.  RR )
47 explecnv.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( A ^ k
) )
4838, 47syldan 280 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  ( A ^ k ) )
4948, 45, 343brtr4d 3930 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) ) `  k )  <_  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k ) )
5040absge0d 10924 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
5150, 45breqtrrd 3926 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  0  <_  ( ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) ) `  k
) )
521, 9, 13, 20, 37, 46, 49, 51climsqz2 11073 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) )  ~~>  0 )
53 explecnv.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
54 simpr 109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
5539abscld 10921 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
5654, 55, 44syl2anc 408 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( F `  k
) ) )
5715, 3, 53, 20, 39, 56climabs0 11044 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  0  <->  (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) )  ~~>  0 ) )
5852, 57mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 804    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660    i^i cin 3040   ifcif 3444   class class class wbr 3899    |-> cmpt 3959   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    < clt 7768    <_ cle 7769   NN0cn0 8945   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294   ^cexp 10260   abscabs 10737    ~~> cli 11015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator