ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  explecnv Unicode version

Theorem explecnv 11506
Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number  A whose absolute value is smaller than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
explecnv.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
explecnv.2  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
explecnv.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
explecnv.5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
explecnv.4  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
explecnv.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
explecnv.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( A ^ k
) )
Assertion
Ref Expression
explecnv  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k    k, F    k, Z    k, M
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem explecnv
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3  |-  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M
) )  =  (
ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) )
2 0z 9260 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
3 explecnv.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 0zd 9261 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  0  e.  ZZ )
5 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
6 zdcle 9325 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  M  <_  0 )
76ancoms 268 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  -> DECID  M  <_  0 )
84, 5, 7ifcldcd 3570 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
0 ,  0 ,  M )  e.  ZZ )
92, 3, 8sylancr 414 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( M  <_ 
0 ,  0 ,  M )  e.  ZZ )
10 explecnv.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1110recnd 7982 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
12 explecnv.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
1311, 12expcnv 11505 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
14 zex 9258 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
15 explecnv.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
16 uzssz 9543 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
1715, 16eqsstri 3187 . . . . . 6  |-  Z  C_  ZZ
1814, 17ssexi 4140 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
1918mptex 5741 . . . 4  |-  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n
) ) )  e. 
_V
2019a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) )  e.  _V )
21 nn0uz 9558 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2215, 21ineq12i 3334 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  i^i  NN0 )  =  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  ( ZZ>= `  0 )
)
23 uzin 9556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= ` 
0 ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )
243, 2, 23sylancl 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= ` 
0 ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )
2522, 24eqtr2id 2223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) )  =  ( Z  i^i  NN0 ) )
2625eleq2d 2247 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) )  <-> 
k  e.  ( Z  i^i  NN0 ) ) )
2726biimpa 296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  k  e.  ( Z  i^i  NN0 )
)
2827elin2d 3325 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
2911adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  A  e.  CC )
3029, 28expcld 10648 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
31 oveq2 5880 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ k
) )
32 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )
3331, 32fvmptg 5591 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( A ^ k )  e.  CC )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) ) `  k )  =  ( A ^ k ) )
3428, 30, 33syl2anc 411 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
3510adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  A  e.  RR )
3635, 28reexpcld 10665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( A ^ k )  e.  RR )
3734, 36eqeltrd 2254 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  e.  RR )
3827elin1d 3324 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  k  e.  Z )
39 explecnv.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
4038, 39syldan 282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
4140abscld 11183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
42 2fveq3 5519 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
43 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n
) ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) )
4442, 43fvmptg 5591 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  RR )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( F `  k
) ) )
4538, 41, 44syl2anc 411 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) ) `  k )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
4645, 41eqeltrd 2254 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) ) `  k )  e.  RR )
47 explecnv.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( A ^ k
) )
4838, 47syldan 282 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  ( A ^ k ) )
4948, 45, 343brtr4d 4034 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) ) `  k )  <_  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k ) )
5040absge0d 11186 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
5150, 45breqtrrd 4030 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  0  <_  ( ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) ) `  k
) )
521, 9, 13, 20, 37, 46, 49, 51climsqz2 11337 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) )  ~~>  0 )
53 explecnv.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
54 simpr 110 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
5539abscld 11183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
5654, 55, 44syl2anc 411 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( F `  k
) ) )
5715, 3, 53, 20, 39, 56climabs0 11308 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  0  <->  (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) )  ~~>  0 ) )
5852, 57mpbird 167 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    i^i cin 3128   ifcif 3534   class class class wbr 4002    |-> cmpt 4063   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   CCcc 7806   RRcr 7807   0cc0 7808   1c1 7809    < clt 7988    <_ cle 7989   NN0cn0 9172   ZZcz 9249   ZZ>=cuz 9524   ^cexp 10514   abscabs 10999    ~~> cli 11279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927  ax-caucvg 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-q 9616  df-rp 9650  df-seqfrec 10441  df-exp 10515  df-cj 10844  df-re 10845  df-im 10846  df-rsqrt 11000  df-abs 11001  df-clim 11280
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator