Theorem lgscllem 15517

Description: The Legendre symbol is an element of Z. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsval.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
lgsfcl2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgscllem	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. Z )

Distinct variable groups:   A, n, x   x, F   n, N, x   n, Z

Allowed substitution hints:   F( n)   Z( x)

Proof of Theorem lgscllem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsval.1	. . 3 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
2	1	lgsval 15514	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
3		lgsfcl2.z	. . . . . . . 8 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
4	3	lgslem2 15511	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. Z /\ 0 e. Z /\ 1 e. Z )
5	4	simp3i 1011	. . . . . 6 |- 1 e. Z
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. Z )
7	4	simp2i 1010	. . . . . 6 |- 0 e. Z
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. Z )
9		zsqcl 10757	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
10		1zzd 9401	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
11		zdceq 9450	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
12	9, 10, 11	syl2an2r 595	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
13	6, 8, 12	ifcldcd 3608	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) e. Z )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) e. Z )
15	4	simp1i 1009	. . . . . 6 |- -u 1 e. Z
16	15	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> -u 1 e. Z )
17		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
18		0zd 9386	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
19		zdclt 9452	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
21		zdclt 9452	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
22	18, 21	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
23		dcan2 937	. . . . . 6 |- (DECID N < 0 -> (DECID A < 0 -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
24	20, 22, 23	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) )
25	16, 6, 24	ifcldcd 3608	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. Z )
26		nnuz 9686	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27		1zzd 9401	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> 1 e. ZZ )
28		df-ne 2377	. . . . . . . 8 |- ( N =/= 0 <-> -. N = 0 )
29	1, 3	lgsfcl2 15516	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> Z )
30	29	3expa 1206	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> Z )
31	28, 30	sylan2br 288	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> F : NN --> Z )
32	31	ffvelcdmda 5717	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ y e. NN ) -> ( F ` y ) e. Z )
33	3	lgslem3 15512	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Z /\ z e. Z ) -> ( y x. z ) e. Z )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ ( y e. Z /\ z e. Z ) ) -> ( y x. z ) e. Z )
35	26, 27, 32, 34	seqf 10611	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> Z )
36		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N e. ZZ )
37		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> -. N = 0 )
38	37	neqned 2383	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
39		nnabscl 11444	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
40	36, 38, 39	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
41	35, 40	ffvelcdmd 5718	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) e. Z )
42	3	lgslem3 15512	. . . 4 |- ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. Z /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) e. Z ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) e. Z )
43	25, 41, 42	syl2an2r 595	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) e. Z )
44		zdceq 9450	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
45	17, 18, 44	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
46	14, 43, 45	ifcldadc 3600	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) e. Z )
47	2, 46	eqeltrd 2282	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   {crab 2488   ifcif 3571   {cpr 3634   class class class wbr 4045   |-> cmpt 4106   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   x. cmul 7932   < clt 8109   <_ cle 8110   - cmin 8245   -ucneg 8246   / cdiv 8747   NNcn 9038   2c2 9089   7c7 9094   8c8 9095   ZZcz 9374   mod cmo 10469   seqcseq 10594   ^cexp 10685   abscabs 11341   || cdvds 12131   Primecprime 12462   pCnt cpc 12640   /Lclgs 15507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-frec 6479  df-1o 6504  df-2o 6505  df-oadd 6508  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-sup 7088  df-inf 7089  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-5 9100  df-6 9101  df-7 9102  df-8 9103  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-fl 10415  df-mod 10470  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-ihash 10923  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-clim 11623  df-proddc 11895  df-dvds 12132  df-gcd 12308  df-prm 12463  df-phi 12566  df-pc 12641  df-lgs 15508

This theorem is referenced by:  lgscl2  15522