Theorem lgscllem 16292

Description: The Legendre symbol is an element of Z. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsval.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
lgsfcl2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgscllem	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. Z )

Distinct variable groups:   A, n, x   x, F   n, N, x   n, Z

Allowed substitution hints:   F( n)   Z( x)

Proof of Theorem lgscllem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsval.1	. . 3 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
2	1	lgsval 16289	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
3		lgsfcl2.z	. . . . . . . 8 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
4	3	lgslem2 16286	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. Z /\ 0 e. Z /\ 1 e. Z )
5	4	simp3i 1039	. . . . . 6 |- 1 e. Z
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. Z )
7	4	simp2i 1038	. . . . . 6 |- 0 e. Z
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. Z )
9		zsqcl 11062	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
10		1zzd 9676	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
11		zdceq 9725	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
12	9, 10, 11	syl2an2r 603	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
13	6, 8, 12	ifcldcd 3678	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) e. Z )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) e. Z )
15	4	simp1i 1037	. . . . . 6 |- -u 1 e. Z
16	15	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> -u 1 e. Z )
17		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
18		0zd 9661	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
19		zdclt 9727	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
20	17, 18, 19	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
21		zdclt 9727	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
22	18, 21	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
23		dcan2 947	. . . . . 6 |- (DECID N < 0 -> (DECID A < 0 -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
24	20, 22, 23	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) )
25	16, 6, 24	ifcldcd 3678	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. Z )
26		nnuz 9968	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27		1zzd 9676	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> 1 e. ZZ )
28		df-ne 2421	. . . . . . . 8 |- ( N =/= 0 <-> -. N = 0 )
29	1, 3	lgsfcl2 16291	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> Z )
30	29	3expa 1234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> Z )
31	28, 30	sylan2br 288	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> F : NN --> Z )
32	31	ffvelcdmda 5843	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ y e. NN ) -> ( F ` y ) e. Z )
33	3	lgslem3 16287	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Z /\ z e. Z ) -> ( y x. z ) e. Z )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ ( y e. Z /\ z e. Z ) ) -> ( y x. z ) e. Z )
35	26, 27, 32, 34	seqf 10916	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> Z )
36		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N e. ZZ )
37		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> -. N = 0 )
38	37	neqned 2427	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
39		nnabscl 11883	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
40	36, 38, 39	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
41	35, 40	ffvelcdmd 5844	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) e. Z )
42	3	lgslem3 16287	. . . 4 |- ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. Z /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) e. Z ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) e. Z )
43	25, 41, 42	syl2an2r 603	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) e. Z )
44		zdceq 9725	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
45	17, 18, 44	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
46	14, 43, 45	ifcldadc 3670	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) e. Z )
47	2, 46	eqeltrd 2315	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. Z )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   {crab 2532   ifcif 3638   {cpr 3710   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   0cc0 8180   1c1 8181   + caddc 8183   x. cmul 8185   < clt 8361   <_ cle 8362   - cmin 8499   -ucneg 8500   / cdiv 9005   NNcn 9307   2c2 9358   7c7 9363   8c8 9364   ZZcz 9649   mod cmo 10774   seqcseq 10899   ^cexp 10990   abscabs 11779   || cdvds 12573   Primecprime 12904   pCnt cpc 13086   /Lclgs 16282

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-fl 10716  df-mod 10775  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-ihash 11231  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-clim 12064  df-proddc 12337  df-dvds 12574  df-gcd 12750  df-prm 12905  df-phi 13012  df-pc 13087  df-lgs 16283

This theorem is used by:  lgscl2  16297