Theorem lgscllem 16006

Description: The Legendre symbol is an element of Z. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsval.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
lgsfcl2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgscllem	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. Z )

Distinct variable groups:   A, n, x   x, F   n, N, x   n, Z

Allowed substitution hints:   F( n)   Z( x)

Proof of Theorem lgscllem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsval.1	. . 3 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
2	1	lgsval 16003	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
3		lgsfcl2.z	. . . . . . . 8 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
4	3	lgslem2 16000	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. Z /\ 0 e. Z /\ 1 e. Z )
5	4	simp3i 1035	. . . . . 6 |- 1 e. Z
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. Z )
7	4	simp2i 1034	. . . . . 6 |- 0 e. Z
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. Z )
9		zsqcl 10996	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
10		1zzd 9621	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
11		zdceq 9670	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
12	9, 10, 11	syl2an2r 599	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
13	6, 8, 12	ifcldcd 3664	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) e. Z )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) e. Z )
15	4	simp1i 1033	. . . . . 6 |- -u 1 e. Z
16	15	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> -u 1 e. Z )
17		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
18		0zd 9606	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
19		zdclt 9672	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
21		zdclt 9672	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
22	18, 21	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
23		dcan2 943	. . . . . 6 |- (DECID N < 0 -> (DECID A < 0 -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
24	20, 22, 23	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) )
25	16, 6, 24	ifcldcd 3664	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. Z )
26		nnuz 9908	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27		1zzd 9621	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> 1 e. ZZ )
28		df-ne 2415	. . . . . . . 8 |- ( N =/= 0 <-> -. N = 0 )
29	1, 3	lgsfcl2 16005	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> Z )
30	29	3expa 1230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> Z )
31	28, 30	sylan2br 288	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> F : NN --> Z )
32	31	ffvelcdmda 5817	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ y e. NN ) -> ( F ` y ) e. Z )
33	3	lgslem3 16001	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Z /\ z e. Z ) -> ( y x. z ) e. Z )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ ( y e. Z /\ z e. Z ) ) -> ( y x. z ) e. Z )
35	26, 27, 32, 34	seqf 10850	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> Z )
36		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N e. ZZ )
37		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> -. N = 0 )
38	37	neqned 2421	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
39		nnabscl 11810	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
40	36, 38, 39	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
41	35, 40	ffvelcdmd 5818	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) e. Z )
42	3	lgslem3 16001	. . . 4 |- ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. Z /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) e. Z ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) e. Z )
43	25, 41, 42	syl2an2r 599	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) e. Z )
44		zdceq 9670	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
45	17, 18, 44	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
46	14, 43, 45	ifcldadc 3656	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) e. Z )
47	2, 46	eqeltrd 2311	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   {crab 2526   ifcif 3624   {cpr 3695   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   -ucneg 8461   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   7c7 9310   8c8 9311   ZZcz 9594   mod cmo 10708   seqcseq 10833   ^cexp 10924   abscabs 11707   || cdvds 12498   Primecprime 12829   pCnt cpc 13007   /Lclgs 15996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-proddc 12262  df-dvds 12499  df-gcd 12675  df-prm 12830  df-phi 12933  df-pc 13008  df-lgs 15997

This theorem is referenced by:  lgscl2  16011