Theorem lgscllem 15554

Description: The Legendre symbol is an element of Z. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsval.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
lgsfcl2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgscllem	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. Z )

Distinct variable groups:   A, n, x   x, F   n, N, x   n, Z

Allowed substitution hints:   F( n)   Z( x)

Proof of Theorem lgscllem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsval.1	. . 3 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
2	1	lgsval 15551	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
3		lgsfcl2.z	. . . . . . . 8 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
4	3	lgslem2 15548	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. Z /\ 0 e. Z /\ 1 e. Z )
5	4	simp3i 1011	. . . . . 6 |- 1 e. Z
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. Z )
7	4	simp2i 1010	. . . . . 6 |- 0 e. Z
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. Z )
9		zsqcl 10772	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
10		1zzd 9414	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
11		zdceq 9463	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
12	9, 10, 11	syl2an2r 595	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
13	6, 8, 12	ifcldcd 3612	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) e. Z )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) e. Z )
15	4	simp1i 1009	. . . . . 6 |- -u 1 e. Z
16	15	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> -u 1 e. Z )
17		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
18		0zd 9399	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
19		zdclt 9465	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
21		zdclt 9465	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
22	18, 21	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
23		dcan2 937	. . . . . 6 |- (DECID N < 0 -> (DECID A < 0 -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
24	20, 22, 23	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) )
25	16, 6, 24	ifcldcd 3612	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. Z )
26		nnuz 9699	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27		1zzd 9414	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> 1 e. ZZ )
28		df-ne 2378	. . . . . . . 8 |- ( N =/= 0 <-> -. N = 0 )
29	1, 3	lgsfcl2 15553	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> Z )
30	29	3expa 1206	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> Z )
31	28, 30	sylan2br 288	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> F : NN --> Z )
32	31	ffvelcdmda 5727	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ y e. NN ) -> ( F ` y ) e. Z )
33	3	lgslem3 15549	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Z /\ z e. Z ) -> ( y x. z ) e. Z )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ ( y e. Z /\ z e. Z ) ) -> ( y x. z ) e. Z )
35	26, 27, 32, 34	seqf 10626	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> Z )
36		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N e. ZZ )
37		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> -. N = 0 )
38	37	neqned 2384	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
39		nnabscl 11481	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
40	36, 38, 39	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
41	35, 40	ffvelcdmd 5728	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) e. Z )
42	3	lgslem3 15549	. . . 4 |- ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. Z /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) e. Z ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) e. Z )
43	25, 41, 42	syl2an2r 595	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) e. Z )
44		zdceq 9463	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
45	17, 18, 44	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
46	14, 43, 45	ifcldadc 3604	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) e. Z )
47	2, 46	eqeltrd 2283	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   {crab 2489   ifcif 3575   {cpr 3638   class class class wbr 4050   |-> cmpt 4112   -->wf 5275   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   0cc0 7940   1c1 7941   + caddc 7943   x. cmul 7945   < clt 8122   <_ cle 8123   - cmin 8258   -ucneg 8259   / cdiv 8760   NNcn 9051   2c2 9102   7c7 9107   8c8 9108   ZZcz 9387   mod cmo 10484   seqcseq 10609   ^cexp 10700   abscabs 11378   || cdvds 12168   Primecprime 12499   pCnt cpc 12677   /Lclgs 15544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058  ax-arch 8059  ax-caucvg 8060

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-isom 5288  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-irdg 6468  df-frec 6489  df-1o 6514  df-2o 6515  df-oadd 6518  df-er 6632  df-en 6840  df-dom 6841  df-fin 6842  df-sup 7100  df-inf 7101  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-5 9113  df-6 9114  df-7 9115  df-8 9116  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-q 9756  df-rp 9791  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-fl 10430  df-mod 10485  df-seqfrec 10610  df-exp 10701  df-ihash 10938  df-cj 11223  df-re 11224  df-im 11225  df-rsqrt 11379  df-abs 11380  df-clim 11660  df-proddc 11932  df-dvds 12169  df-gcd 12345  df-prm 12500  df-phi 12603  df-pc 12678  df-lgs 15545

This theorem is referenced by:  lgscl2  15559