Theorem lgscllem 15248

Description: The Legendre symbol is an element of Z. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsval.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
lgsfcl2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgscllem	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. Z )

Distinct variable groups:   A, n, x   x, F   n, N, x   n, Z

Allowed substitution hints:   F( n)   Z( x)

Proof of Theorem lgscllem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsval.1	. . 3 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
2	1	lgsval 15245	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
3		lgsfcl2.z	. . . . . . . 8 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
4	3	lgslem2 15242	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. Z /\ 0 e. Z /\ 1 e. Z )
5	4	simp3i 1010	. . . . . 6 |- 1 e. Z
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. Z )
7	4	simp2i 1009	. . . . . 6 |- 0 e. Z
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. Z )
9		zsqcl 10702	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
10		1zzd 9353	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
11		zdceq 9401	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
12	9, 10, 11	syl2an2r 595	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
13	6, 8, 12	ifcldcd 3597	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) e. Z )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) e. Z )
15	4	simp1i 1008	. . . . . 6 |- -u 1 e. Z
16	15	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> -u 1 e. Z )
17		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
18		0zd 9338	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
19		zdclt 9403	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
21		zdclt 9403	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
22	18, 21	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
23		dcan2 936	. . . . . 6 |- (DECID N < 0 -> (DECID A < 0 -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
24	20, 22, 23	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) )
25	16, 6, 24	ifcldcd 3597	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. Z )
26		nnuz 9637	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27		1zzd 9353	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> 1 e. ZZ )
28		df-ne 2368	. . . . . . . 8 |- ( N =/= 0 <-> -. N = 0 )
29	1, 3	lgsfcl2 15247	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> Z )
30	29	3expa 1205	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> Z )
31	28, 30	sylan2br 288	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> F : NN --> Z )
32	31	ffvelcdmda 5697	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ y e. NN ) -> ( F ` y ) e. Z )
33	3	lgslem3 15243	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Z /\ z e. Z ) -> ( y x. z ) e. Z )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) /\ ( y e. Z /\ z e. Z ) ) -> ( y x. z ) e. Z )
35	26, 27, 32, 34	seqf 10556	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> Z )
36		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N e. ZZ )
37		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> -. N = 0 )
38	37	neqned 2374	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
39		nnabscl 11265	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
40	36, 38, 39	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
41	35, 40	ffvelcdmd 5698	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) e. Z )
42	3	lgslem3 15243	. . . 4 |- ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. Z /\ ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) e. Z ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) e. Z )
43	25, 41, 42	syl2an2r 595	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N = 0 ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) e. Z )
44		zdceq 9401	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
45	17, 18, 44	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
46	14, 43, 45	ifcldadc 3590	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) e. Z )
47	2, 46	eqeltrd 2273	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   {crab 2479   ifcif 3561   {cpr 3623   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   -ucneg 8198   / cdiv 8699   NNcn 8990   2c2 9041   7c7 9046   8c8 9047   ZZcz 9326   mod cmo 10414   seqcseq 10539   ^cexp 10630   abscabs 11162   || cdvds 11952   Primecprime 12275   pCnt cpc 12453   /Lclgs 15238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-proddc 11716  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-prm 12276  df-phi 12379  df-pc 12454  df-lgs 15239

This theorem is referenced by:  lgscl2  15253