Theorem fprodsplitdc 12144

Description: Split a finite product into two parts. New proofs should use fprodsplit 12145 which is the same but with one fewer hypothesis. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitdc.1	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fprodsplitdc.2	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fprodsplitdc.3	|- ( ph -> U e. Fin )
fprodsplitdc.a	|- ( ph -> A. j e. U DECID j e. A )
fprodsplitdc.4	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitdc	|- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j, k   ph, j, k   U, j, k

Allowed substitution hints:   C( j, k)

Proof of Theorem fprodsplitdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3608	. . . . 5 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 1 ) = C )
2	1	prodeq2i 12110	. . . 4 |- prod_ k e. A if ( k e. A , C , 1 ) = prod_ k e. A C
3		ssun1 3368	. . . . . 6 |- A C_ ( A u. B )
4		fprodsplitdc.2	. . . . . 6 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
5	3, 4	sseqtrrid 3276	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ U )
6	1	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = C )
7	5	sselda 3225	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. U )
8		fprodsplitdc.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
9	7, 8	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
10	6, 9	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 1 ) e. CC )
11		fprodsplitdc.a	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. U DECID j e. A )
12		eldifn 3328	. . . . . . 7 |- ( k e. ( U \ A ) -> -. k e. A )
13	12	iffalsed 3613	. . . . . 6 |- ( k e. ( U \ A ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = 1 )
14	13	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( U \ A ) ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = 1 )
15		fprodsplitdc.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. Fin )
16	5, 10, 11, 14, 15	fprodssdc 12138	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. A if ( k e. A , C , 1 ) = prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) )
17	2, 16	eqtr3id 2276	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) )
18		iftrue 3608	. . . . 5 |- ( k e. B -> if ( k e. B , C , 1 ) = C )
19	18	prodeq2i 12110	. . . 4 |- prod_ k e. B if ( k e. B , C , 1 ) = prod_ k e. B C
20		ssun2 3369	. . . . . 6 |- B C_ ( A u. B )
21	20, 4	sseqtrrid 3276	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ U )
22	18	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = C )
23	21	sselda 3225	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. U )
24	23, 8	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
25	22, 24	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 1 ) e. CC )
26		fprodsplitdc.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
27		disj 3541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> A. j e. A -. j e. B )
28	26, 27	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. j e. A -. j e. B )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) -> A. j e. A -. j e. B )
30	29	r19.21bi 2618	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ j e. A ) -> -. j e. B )
31	30	olcd 739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ j e. A ) -> ( j e. B \/ -. j e. B ) )
32		df-dc 840	. . . . . . . . . 10 |- (DECID j e. B <-> ( j e. B \/ -. j e. B ) )
33	31, 32	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ j e. A ) -> DECID j e. B )
34		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> -. j e. A )
35		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> j e. U )
36	4	eleq2d 2299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( j e. U <-> j e. ( A u. B ) ) )
37	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. U <-> j e. ( A u. B ) ) )
38	35, 37	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> j e. ( A u. B ) )
39		elun 3346	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( A u. B ) <-> ( j e. A \/ j e. B ) )
40	38, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. A \/ j e. B ) )
41	40	orcomd 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. B \/ j e. A ) )
42	34, 41	ecased 1383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> j e. B )
43	42	orcd 738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. B \/ -. j e. B ) )
44	43, 32	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> DECID j e. B )
45		exmiddc 841	. . . . . . . . . 10 |- (DECID j e. A -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
47	33, 44, 46	mpjaodan 803	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) -> DECID j e. B )
48	47	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> (DECID j e. A -> DECID j e. B ) )
49	48	ralimdva 2597	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. j e. U DECID j e. A -> A. j e. U DECID j e. B ) )
50	11, 49	mpd 13	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. U DECID j e. B )
51		eldifn 3328	. . . . . . 7 |- ( k e. ( U \ B ) -> -. k e. B )
52	51	iffalsed 3613	. . . . . 6 |- ( k e. ( U \ B ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = 1 )
53	52	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( U \ B ) ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = 1 )
54	21, 25, 50, 53, 15	fprodssdc 12138	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. B if ( k e. B , C , 1 ) = prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) )
55	19, 54	eqtr3id 2276	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. B C = prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) )
56	17, 55	oveq12d 6029	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) = ( prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) x. prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) ) )
57		1cnd 8183	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> 1 e. CC )
58		eleq1w 2290	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
59	58	dcbid 843	. . . . . . 7 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
60	59	cbvralv 2765	. . . . . 6 |- ( A. j e. U DECID j e. A <-> A. k e. U DECID k e. A )
61	11, 60	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. U DECID k e. A )
62	61	r19.21bi 2618	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. A )
63	8, 57, 62	ifcldcd 3641	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. A , C , 1 ) e. CC )
64		eleq1w 2290	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( j e. B <-> k e. B ) )
65	64	dcbid 843	. . . . . . 7 |- ( j = k -> (DECID j e. B <-> DECID k e. B ) )
66	65	cbvralv 2765	. . . . . 6 |- ( A. j e. U DECID j e. B <-> A. k e. U DECID k e. B )
67	50, 66	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. U DECID k e. B )
68	67	r19.21bi 2618	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. B )
69	8, 57, 68	ifcldcd 3641	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. B , C , 1 ) e. CC )
70	15, 63, 69	fprodmul 12139	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. U ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) x. prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) ) )
71	4	eleq2d 2299	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. U <-> k e. ( A u. B ) ) )
72		elun 3346	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
73	71, 72	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. U <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
74	73	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( k e. A \/ k e. B ) )
75		disjel 3547	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ k e. A ) -> -. k e. B )
76	26, 75	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
77	76	iffalsed 3613	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = 1 )
78	6, 77	oveq12d 6029	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( C x. 1 ) )
79	9	mulridd 8184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C x. 1 ) = C )
80	78, 79	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
81	76	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
82	81	con2d 627	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. B -> -. k e. A ) )
83	82	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> -. k e. A )
84	83	iffalsed 3613	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = 1 )
85	84, 22	oveq12d 6029	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( 1 x. C ) )
86	24	mulid2d 8186	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( 1 x. C ) = C )
87	85, 86	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
88	80, 87	jaodan 802	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. A \/ k e. B ) ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
89	74, 88	syldan 282	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
90	89	prodeq2dv 12114	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. U ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = prod_ k e. U C )
91	56, 70, 90	3eqtr2rd 2269	1 |- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   \ cdif 3195   u. cun 3196   i^i cin 3197   (/)c0 3492   ifcif 3603  (class class class)co 6011   Fincfn 6902   CCcc 8018   1c1 8021   x. cmul 8025   prod_cprod 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-mulrcl 8119  ax-addcom 8120  ax-mulcom 8121  ax-addass 8122  ax-mulass 8123  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-1rid 8127  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-precex 8130  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136  ax-pre-mulgt0 8137  ax-pre-mulext 8138  ax-arch 8139  ax-caucvg 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-po 4389  df-iso 4390  df-iord 4459  df-on 4461  df-ilim 4462  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-isom 5331  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-irdg 6529  df-frec 6550  df-1o 6575  df-oadd 6579  df-er 6695  df-en 6903  df-dom 6904  df-fin 6905  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-reap 8743  df-ap 8750  df-div 8841  df-inn 9132  df-2 9190  df-3 9191  df-4 9192  df-n0 9391  df-z 9468  df-uz 9744  df-q 9842  df-rp 9877  df-fz 10232  df-fzo 10366  df-seqfrec 10698  df-exp 10789  df-ihash 11026  df-cj 11390  df-re 11391  df-im 11392  df-rsqrt 11546  df-abs 11547  df-clim 11827  df-proddc 12099

This theorem is referenced by:  fprodsplit  12145  fprodm1  12146  fprod1p  12147  fprodunsn  12152  fprodeq0  12165