Theorem fprodsplitdc 11761

Description: Split a finite product into two parts. New proofs should use fprodsplit 11762 which is the same but with one fewer hypothesis. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitdc.1	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fprodsplitdc.2	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fprodsplitdc.3	|- ( ph -> U e. Fin )
fprodsplitdc.a	|- ( ph -> A. j e. U DECID j e. A )
fprodsplitdc.4	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitdc	|- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j, k   ph, j, k   U, j, k

Allowed substitution hints:   C( j, k)

Proof of Theorem fprodsplitdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3566	. . . . 5 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 1 ) = C )
2	1	prodeq2i 11727	. . . 4 |- prod_ k e. A if ( k e. A , C , 1 ) = prod_ k e. A C
3		ssun1 3326	. . . . . 6 |- A C_ ( A u. B )
4		fprodsplitdc.2	. . . . . 6 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
5	3, 4	sseqtrrid 3234	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ U )
6	1	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = C )
7	5	sselda 3183	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. U )
8		fprodsplitdc.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
9	7, 8	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
10	6, 9	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 1 ) e. CC )
11		fprodsplitdc.a	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. U DECID j e. A )
12		eldifn 3286	. . . . . . 7 |- ( k e. ( U \ A ) -> -. k e. A )
13	12	iffalsed 3571	. . . . . 6 |- ( k e. ( U \ A ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = 1 )
14	13	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( U \ A ) ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = 1 )
15		fprodsplitdc.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. Fin )
16	5, 10, 11, 14, 15	fprodssdc 11755	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. A if ( k e. A , C , 1 ) = prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) )
17	2, 16	eqtr3id 2243	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) )
18		iftrue 3566	. . . . 5 |- ( k e. B -> if ( k e. B , C , 1 ) = C )
19	18	prodeq2i 11727	. . . 4 |- prod_ k e. B if ( k e. B , C , 1 ) = prod_ k e. B C
20		ssun2 3327	. . . . . 6 |- B C_ ( A u. B )
21	20, 4	sseqtrrid 3234	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ U )
22	18	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = C )
23	21	sselda 3183	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. U )
24	23, 8	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
25	22, 24	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 1 ) e. CC )
26		fprodsplitdc.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
27		disj 3499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> A. j e. A -. j e. B )
28	26, 27	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. j e. A -. j e. B )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) -> A. j e. A -. j e. B )
30	29	r19.21bi 2585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ j e. A ) -> -. j e. B )
31	30	olcd 735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ j e. A ) -> ( j e. B \/ -. j e. B ) )
32		df-dc 836	. . . . . . . . . 10 |- (DECID j e. B <-> ( j e. B \/ -. j e. B ) )
33	31, 32	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ j e. A ) -> DECID j e. B )
34		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> -. j e. A )
35		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> j e. U )
36	4	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( j e. U <-> j e. ( A u. B ) ) )
37	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. U <-> j e. ( A u. B ) ) )
38	35, 37	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> j e. ( A u. B ) )
39		elun 3304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( A u. B ) <-> ( j e. A \/ j e. B ) )
40	38, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. A \/ j e. B ) )
41	40	orcomd 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. B \/ j e. A ) )
42	34, 41	ecased 1360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> j e. B )
43	42	orcd 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. B \/ -. j e. B ) )
44	43, 32	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> DECID j e. B )
45		exmiddc 837	. . . . . . . . . 10 |- (DECID j e. A -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
47	33, 44, 46	mpjaodan 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) -> DECID j e. B )
48	47	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> (DECID j e. A -> DECID j e. B ) )
49	48	ralimdva 2564	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. j e. U DECID j e. A -> A. j e. U DECID j e. B ) )
50	11, 49	mpd 13	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. U DECID j e. B )
51		eldifn 3286	. . . . . . 7 |- ( k e. ( U \ B ) -> -. k e. B )
52	51	iffalsed 3571	. . . . . 6 |- ( k e. ( U \ B ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = 1 )
53	52	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( U \ B ) ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = 1 )
54	21, 25, 50, 53, 15	fprodssdc 11755	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. B if ( k e. B , C , 1 ) = prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) )
55	19, 54	eqtr3id 2243	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. B C = prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) )
56	17, 55	oveq12d 5940	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) = ( prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) x. prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) ) )
57		1cnd 8042	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> 1 e. CC )
58		eleq1w 2257	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
59	58	dcbid 839	. . . . . . 7 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
60	59	cbvralv 2729	. . . . . 6 |- ( A. j e. U DECID j e. A <-> A. k e. U DECID k e. A )
61	11, 60	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. U DECID k e. A )
62	61	r19.21bi 2585	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. A )
63	8, 57, 62	ifcldcd 3597	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. A , C , 1 ) e. CC )
64		eleq1w 2257	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( j e. B <-> k e. B ) )
65	64	dcbid 839	. . . . . . 7 |- ( j = k -> (DECID j e. B <-> DECID k e. B ) )
66	65	cbvralv 2729	. . . . . 6 |- ( A. j e. U DECID j e. B <-> A. k e. U DECID k e. B )
67	50, 66	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. U DECID k e. B )
68	67	r19.21bi 2585	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. B )
69	8, 57, 68	ifcldcd 3597	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. B , C , 1 ) e. CC )
70	15, 63, 69	fprodmul 11756	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. U ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) x. prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) ) )
71	4	eleq2d 2266	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. U <-> k e. ( A u. B ) ) )
72		elun 3304	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
73	71, 72	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. U <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
74	73	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( k e. A \/ k e. B ) )
75		disjel 3505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ k e. A ) -> -. k e. B )
76	26, 75	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
77	76	iffalsed 3571	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = 1 )
78	6, 77	oveq12d 5940	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( C x. 1 ) )
79	9	mulridd 8043	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C x. 1 ) = C )
80	78, 79	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
81	76	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
82	81	con2d 625	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. B -> -. k e. A ) )
83	82	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> -. k e. A )
84	83	iffalsed 3571	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = 1 )
85	84, 22	oveq12d 5940	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( 1 x. C ) )
86	24	mulid2d 8045	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( 1 x. C ) = C )
87	85, 86	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
88	80, 87	jaodan 798	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. A \/ k e. B ) ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
89	74, 88	syldan 282	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
90	89	prodeq2dv 11731	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. U ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = prod_ k e. U C )
91	56, 70, 90	3eqtr2rd 2236	1 |- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   \ cdif 3154   u. cun 3155   i^i cin 3156   (/)c0 3450   ifcif 3561  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   CCcc 7877   1c1 7880   x. cmul 7884   prod_cprod 11715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-proddc 11716

This theorem is referenced by:  fprodsplit  11762  fprodm1  11763  fprod1p  11764  fprodunsn  11769  fprodeq0  11782