Theorem fprodsplitdc 12022

Description: Split a finite product into two parts. New proofs should use fprodsplit 12023 which is the same but with one fewer hypothesis. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitdc.1	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fprodsplitdc.2	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fprodsplitdc.3	|- ( ph -> U e. Fin )
fprodsplitdc.a	|- ( ph -> A. j e. U DECID j e. A )
fprodsplitdc.4	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitdc	|- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j, k   ph, j, k   U, j, k

Allowed substitution hints:   C( j, k)

Proof of Theorem fprodsplitdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3584	. . . . 5 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 1 ) = C )
2	1	prodeq2i 11988	. . . 4 |- prod_ k e. A if ( k e. A , C , 1 ) = prod_ k e. A C
3		ssun1 3344	. . . . . 6 |- A C_ ( A u. B )
4		fprodsplitdc.2	. . . . . 6 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
5	3, 4	sseqtrrid 3252	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ U )
6	1	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = C )
7	5	sselda 3201	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. U )
8		fprodsplitdc.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
9	7, 8	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
10	6, 9	eqeltrd 2284	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 1 ) e. CC )
11		fprodsplitdc.a	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. U DECID j e. A )
12		eldifn 3304	. . . . . . 7 |- ( k e. ( U \ A ) -> -. k e. A )
13	12	iffalsed 3589	. . . . . 6 |- ( k e. ( U \ A ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = 1 )
14	13	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( U \ A ) ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = 1 )
15		fprodsplitdc.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. Fin )
16	5, 10, 11, 14, 15	fprodssdc 12016	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. A if ( k e. A , C , 1 ) = prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) )
17	2, 16	eqtr3id 2254	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) )
18		iftrue 3584	. . . . 5 |- ( k e. B -> if ( k e. B , C , 1 ) = C )
19	18	prodeq2i 11988	. . . 4 |- prod_ k e. B if ( k e. B , C , 1 ) = prod_ k e. B C
20		ssun2 3345	. . . . . 6 |- B C_ ( A u. B )
21	20, 4	sseqtrrid 3252	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ U )
22	18	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = C )
23	21	sselda 3201	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. U )
24	23, 8	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
25	22, 24	eqeltrd 2284	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 1 ) e. CC )
26		fprodsplitdc.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
27		disj 3517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> A. j e. A -. j e. B )
28	26, 27	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. j e. A -. j e. B )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) -> A. j e. A -. j e. B )
30	29	r19.21bi 2596	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ j e. A ) -> -. j e. B )
31	30	olcd 736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ j e. A ) -> ( j e. B \/ -. j e. B ) )
32		df-dc 837	. . . . . . . . . 10 |- (DECID j e. B <-> ( j e. B \/ -. j e. B ) )
33	31, 32	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ j e. A ) -> DECID j e. B )
34		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> -. j e. A )
35		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> j e. U )
36	4	eleq2d 2277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( j e. U <-> j e. ( A u. B ) ) )
37	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. U <-> j e. ( A u. B ) ) )
38	35, 37	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> j e. ( A u. B ) )
39		elun 3322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( A u. B ) <-> ( j e. A \/ j e. B ) )
40	38, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. A \/ j e. B ) )
41	40	orcomd 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. B \/ j e. A ) )
42	34, 41	ecased 1362	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> j e. B )
43	42	orcd 735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. B \/ -. j e. B ) )
44	43, 32	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> DECID j e. B )
45		exmiddc 838	. . . . . . . . . 10 |- (DECID j e. A -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
47	33, 44, 46	mpjaodan 800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) -> DECID j e. B )
48	47	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> (DECID j e. A -> DECID j e. B ) )
49	48	ralimdva 2575	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. j e. U DECID j e. A -> A. j e. U DECID j e. B ) )
50	11, 49	mpd 13	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. U DECID j e. B )
51		eldifn 3304	. . . . . . 7 |- ( k e. ( U \ B ) -> -. k e. B )
52	51	iffalsed 3589	. . . . . 6 |- ( k e. ( U \ B ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = 1 )
53	52	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( U \ B ) ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = 1 )
54	21, 25, 50, 53, 15	fprodssdc 12016	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. B if ( k e. B , C , 1 ) = prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) )
55	19, 54	eqtr3id 2254	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. B C = prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) )
56	17, 55	oveq12d 5985	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) = ( prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) x. prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) ) )
57		1cnd 8123	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> 1 e. CC )
58		eleq1w 2268	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
59	58	dcbid 840	. . . . . . 7 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
60	59	cbvralv 2742	. . . . . 6 |- ( A. j e. U DECID j e. A <-> A. k e. U DECID k e. A )
61	11, 60	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. U DECID k e. A )
62	61	r19.21bi 2596	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. A )
63	8, 57, 62	ifcldcd 3617	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. A , C , 1 ) e. CC )
64		eleq1w 2268	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( j e. B <-> k e. B ) )
65	64	dcbid 840	. . . . . . 7 |- ( j = k -> (DECID j e. B <-> DECID k e. B ) )
66	65	cbvralv 2742	. . . . . 6 |- ( A. j e. U DECID j e. B <-> A. k e. U DECID k e. B )
67	50, 66	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. U DECID k e. B )
68	67	r19.21bi 2596	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. B )
69	8, 57, 68	ifcldcd 3617	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. B , C , 1 ) e. CC )
70	15, 63, 69	fprodmul 12017	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. U ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) x. prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) ) )
71	4	eleq2d 2277	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. U <-> k e. ( A u. B ) ) )
72		elun 3322	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
73	71, 72	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. U <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
74	73	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( k e. A \/ k e. B ) )
75		disjel 3523	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ k e. A ) -> -. k e. B )
76	26, 75	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
77	76	iffalsed 3589	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = 1 )
78	6, 77	oveq12d 5985	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( C x. 1 ) )
79	9	mulridd 8124	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C x. 1 ) = C )
80	78, 79	eqtrd 2240	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
81	76	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
82	81	con2d 625	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. B -> -. k e. A ) )
83	82	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> -. k e. A )
84	83	iffalsed 3589	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = 1 )
85	84, 22	oveq12d 5985	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( 1 x. C ) )
86	24	mulid2d 8126	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( 1 x. C ) = C )
87	85, 86	eqtrd 2240	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
88	80, 87	jaodan 799	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. A \/ k e. B ) ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
89	74, 88	syldan 282	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
90	89	prodeq2dv 11992	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. U ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = prod_ k e. U C )
91	56, 70, 90	3eqtr2rd 2247	1 |- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   \ cdif 3171   u. cun 3172   i^i cin 3173   (/)c0 3468   ifcif 3579  (class class class)co 5967   Fincfn 6850   CCcc 7958   1c1 7961   x. cmul 7965   prod_cprod 11976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-proddc 11977

This theorem is referenced by:  fprodsplit  12023  fprodm1  12024  fprod1p  12025  fprodunsn  12030  fprodeq0  12043