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Theorem fprodsplitdc 11559
Description: Split a finite product into two parts. New proofs should use fprodsplit 11560 which is the same but with one fewer hypothesis. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplitdc.1  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
fprodsplitdc.2  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
fprodsplitdc.3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
fprodsplitdc.a  |-  ( ph  ->  A. j  e.  U DECID  j  e.  A )
fprodsplitdc.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodsplitdc  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  C  =  ( prod_ k  e.  A  C  x.  prod_ k  e.  B  C
) )
Distinct variable groups:    A, j, k    B, j, k    ph, j,
k    U, j, k
Allowed substitution hints:    C( j, k)

Proof of Theorem fprodsplitdc
StepHypRef Expression
1 iftrue 3531 . . . . 5  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  C )
21prodeq2i 11525 . . . 4  |-  prod_ k  e.  A  if (
k  e.  A ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  A  C
3 ssun1 3290 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
4 fprodsplitdc.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
53, 4sseqtrrid 3198 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
61adantl 275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  C )
75sselda 3147 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  U )
8 fprodsplitdc.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
97, 8syldan 280 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
106, 9eqeltrd 2247 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  e.  CC )
11 fprodsplitdc.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  U DECID  j  e.  A )
12 eldifn 3250 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( U  \  A )  ->  -.  k  e.  A )
1312iffalsed 3536 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( U  \  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  1 )
1413adantl 275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( U  \  A ) )  ->  if (
k  e.  A ,  C ,  1 )  =  1 )
15 fprodsplitdc.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
165, 10, 11, 14, 15fprodssdc 11553 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
172, 16eqtr3id 2217 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
18 iftrue 3531 . . . . 5  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  C )
1918prodeq2i 11525 . . . 4  |-  prod_ k  e.  B  if (
k  e.  B ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  B  C
20 ssun2 3291 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
2120, 4sseqtrrid 3198 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
2218adantl 275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  C )
2321sselda 3147 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  U )
2423, 8syldan 280 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2522, 24eqeltrd 2247 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  e.  CC )
26 fprodsplitdc.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
27 disj 3463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  <->  A. j  e.  A  -.  j  e.  B
)
2826, 27sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  -.  j  e.  B
)
2928ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  ->  A. j  e.  A  -.  j  e.  B )
3029r19.21bi 2558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  j  e.  A
)  ->  -.  j  e.  B )
3130olcd 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  j  e.  A
)  ->  ( j  e.  B  \/  -.  j  e.  B )
)
32 df-dc 830 . . . . . . . . . 10  |-  (DECID  j  e.  B  <->  ( j  e.  B  \/  -.  j  e.  B ) )
3331, 32sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  j  e.  A
)  -> DECID  j  e.  B
)
34 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  -.  j  e.  A )
35 simpllr 529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  j  e.  U )
364eleq2d 2240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( j  e.  U  <->  j  e.  ( A  u.  B ) ) )
3736ad3antrrr 489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  ( j  e.  U  <->  j  e.  ( A  u.  B ) ) )
3835, 37mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  j  e.  ( A  u.  B
) )
39 elun 3268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( A  u.  B )  <->  ( j  e.  A  \/  j  e.  B ) )
4038, 39sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  ( j  e.  A  \/  j  e.  B ) )
4140orcomd 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  ( j  e.  B  \/  j  e.  A ) )
4234, 41ecased 1344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  j  e.  B )
4342orcd 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  ( j  e.  B  \/  -.  j  e.  B )
)
4443, 32sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  -> DECID  j  e.  B
)
45 exmiddc 831 . . . . . . . . . 10  |-  (DECID  j  e.  A  ->  ( j  e.  A  \/  -.  j  e.  A )
)
4645adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  ->  (
j  e.  A  \/  -.  j  e.  A
) )
4733, 44, 46mpjaodan 793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  -> DECID  j  e.  B
)
4847ex 114 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  U )  ->  (DECID  j  e.  A  -> DECID  j  e.  B
) )
4948ralimdva 2537 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. j  e.  U DECID  j  e.  A  ->  A. j  e.  U DECID  j  e.  B ) )
5011, 49mpd 13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  U DECID  j  e.  B )
51 eldifn 3250 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( U  \  B )  ->  -.  k  e.  B )
5251iffalsed 3536 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( U  \  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  1 )
5352adantl 275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( U  \  B ) )  ->  if (
k  e.  B ,  C ,  1 )  =  1 )
5421, 25, 50, 53, 15fprodssdc 11553 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  B  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )
5519, 54eqtr3id 2217 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )
5617, 55oveq12d 5871 . 2  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  A  C  x.  prod_ k  e.  B  C )  =  ( prod_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )
57 1cnd 7936 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  1  e.  CC )
58 eleq1w 2231 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
5958dcbid 833 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
6059cbvralv 2696 . . . . . 6  |-  ( A. j  e.  U DECID  j  e.  A 
<-> 
A. k  e.  U DECID  k  e.  A )
6111, 60sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  U DECID  k  e.  A )
6261r19.21bi 2558 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  -> DECID  k  e.  A
)
638, 57, 62ifcldcd 3561 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  e.  CC )
64 eleq1w 2231 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  B  <->  k  e.  B ) )
6564dcbid 833 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (DECID  j  e.  B  <-> DECID  k  e.  B )
)
6665cbvralv 2696 . . . . . 6  |-  ( A. j  e.  U DECID  j  e.  B 
<-> 
A. k  e.  U DECID  k  e.  B )
6750, 66sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  U DECID  k  e.  B )
6867r19.21bi 2558 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  -> DECID  k  e.  B
)
698, 57, 68ifcldcd 3561 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  e.  CC )
7015, 63, 69fprodmul 11554 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( prod_
k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )
714eleq2d 2240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  k  e.  ( A  u.  B ) ) )
72 elun 3268 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
7371, 72bitrdi 195 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B )
) )
7473biimpa 294 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  (
k  e.  A  \/  k  e.  B )
)
75 disjel 3469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
7626, 75sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
7776iffalsed 3536 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  1 )
786, 77oveq12d 5871 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( C  x.  1 ) )
799mulid1d 7937 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  x.  1 )  =  C )
8078, 79eqtrd 2203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  C )
8176ex 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
) )
8281con2d 619 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  ->  -.  k  e.  A
) )
8382imp 123 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  -.  k  e.  A )
8483iffalsed 3536 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  1 )
8584, 22oveq12d 5871 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( 1  x.  C ) )
8624mulid2d 7938 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
1  x.  C )  =  C )
8785, 86eqtrd 2203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  C )
8880, 87jaodan 792 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )  -> 
( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C , 
1 ) )  =  C )
8974, 88syldan 280 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  C )
9089prodeq2dv 11529 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  prod_ k  e.  U  C )
9156, 70, 903eqtr2rd 2210 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  C  =  ( prod_ k  e.  A  C  x.  prod_ k  e.  B  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448    \ cdif 3118    u. cun 3119    i^i cin 3120   (/)c0 3414   ifcif 3526  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772   1c1 7775    x. cmul 7779   prod_cprod 11513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514
This theorem is referenced by:  fprodsplit  11560  fprodm1  11561  fprod1p  11562  fprodunsn  11567  fprodeq0  11580
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