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Theorem fprodsplitdc 11493
Description: Split a finite product into two parts. New proofs should use fprodsplit 11494 which is the same but with one fewer hypothesis. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplitdc.1  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
fprodsplitdc.2  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
fprodsplitdc.3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
fprodsplitdc.a  |-  ( ph  ->  A. j  e.  U DECID  j  e.  A )
fprodsplitdc.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodsplitdc  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  C  =  ( prod_ k  e.  A  C  x.  prod_ k  e.  B  C
) )
Distinct variable groups:    A, j, k    B, j, k    ph, j,
k    U, j, k
Allowed substitution hints:    C( j, k)

Proof of Theorem fprodsplitdc
StepHypRef Expression
1 iftrue 3510 . . . . 5  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  C )
21prodeq2i 11459 . . . 4  |-  prod_ k  e.  A  if (
k  e.  A ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  A  C
3 ssun1 3270 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
4 fprodsplitdc.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
53, 4sseqtrrid 3179 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
61adantl 275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  C )
75sselda 3128 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  U )
8 fprodsplitdc.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
97, 8syldan 280 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
106, 9eqeltrd 2234 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  e.  CC )
11 fprodsplitdc.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  U DECID  j  e.  A )
12 eldifn 3230 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( U  \  A )  ->  -.  k  e.  A )
1312iffalsed 3515 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( U  \  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  1 )
1413adantl 275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( U  \  A ) )  ->  if (
k  e.  A ,  C ,  1 )  =  1 )
15 fprodsplitdc.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
165, 10, 11, 14, 15fprodssdc 11487 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
172, 16eqtr3id 2204 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
18 iftrue 3510 . . . . 5  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  C )
1918prodeq2i 11459 . . . 4  |-  prod_ k  e.  B  if (
k  e.  B ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  B  C
20 ssun2 3271 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
2120, 4sseqtrrid 3179 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
2218adantl 275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  C )
2321sselda 3128 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  U )
2423, 8syldan 280 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2522, 24eqeltrd 2234 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  e.  CC )
26 fprodsplitdc.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
27 disj 3442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  <->  A. j  e.  A  -.  j  e.  B
)
2826, 27sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  -.  j  e.  B
)
2928ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  ->  A. j  e.  A  -.  j  e.  B )
3029r19.21bi 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  j  e.  A
)  ->  -.  j  e.  B )
3130olcd 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  j  e.  A
)  ->  ( j  e.  B  \/  -.  j  e.  B )
)
32 df-dc 821 . . . . . . . . . 10  |-  (DECID  j  e.  B  <->  ( j  e.  B  \/  -.  j  e.  B ) )
3331, 32sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  j  e.  A
)  -> DECID  j  e.  B
)
34 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  -.  j  e.  A )
35 simpllr 524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  j  e.  U )
364eleq2d 2227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( j  e.  U  <->  j  e.  ( A  u.  B ) ) )
3736ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  ( j  e.  U  <->  j  e.  ( A  u.  B ) ) )
3835, 37mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  j  e.  ( A  u.  B
) )
39 elun 3248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( A  u.  B )  <->  ( j  e.  A  \/  j  e.  B ) )
4038, 39sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  ( j  e.  A  \/  j  e.  B ) )
4140orcomd 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  ( j  e.  B  \/  j  e.  A ) )
4234, 41ecased 1331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  j  e.  B )
4342orcd 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  ->  ( j  e.  B  \/  -.  j  e.  B )
)
4443, 32sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  /\  -.  j  e.  A
)  -> DECID  j  e.  B
)
45 exmiddc 822 . . . . . . . . . 10  |-  (DECID  j  e.  A  ->  ( j  e.  A  \/  -.  j  e.  A )
)
4645adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  ->  (
j  e.  A  \/  -.  j  e.  A
) )
4733, 44, 46mpjaodan 788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  U )  /\ DECID  j  e.  A )  -> DECID  j  e.  B
)
4847ex 114 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  U )  ->  (DECID  j  e.  A  -> DECID  j  e.  B
) )
4948ralimdva 2524 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. j  e.  U DECID  j  e.  A  ->  A. j  e.  U DECID  j  e.  B ) )
5011, 49mpd 13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  U DECID  j  e.  B )
51 eldifn 3230 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( U  \  B )  ->  -.  k  e.  B )
5251iffalsed 3515 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( U  \  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  1 )
5352adantl 275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( U  \  B ) )  ->  if (
k  e.  B ,  C ,  1 )  =  1 )
5421, 25, 50, 53, 15fprodssdc 11487 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  B  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )
5519, 54eqtr3id 2204 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )
5617, 55oveq12d 5842 . 2  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  A  C  x.  prod_ k  e.  B  C )  =  ( prod_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )
57 1cnd 7894 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  1  e.  CC )
58 eleq1w 2218 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
5958dcbid 824 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
6059cbvralv 2680 . . . . . 6  |-  ( A. j  e.  U DECID  j  e.  A 
<-> 
A. k  e.  U DECID  k  e.  A )
6111, 60sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  U DECID  k  e.  A )
6261r19.21bi 2545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  -> DECID  k  e.  A
)
638, 57, 62ifcldcd 3540 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  e.  CC )
64 eleq1w 2218 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  B  <->  k  e.  B ) )
6564dcbid 824 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (DECID  j  e.  B  <-> DECID  k  e.  B )
)
6665cbvralv 2680 . . . . . 6  |-  ( A. j  e.  U DECID  j  e.  B 
<-> 
A. k  e.  U DECID  k  e.  B )
6750, 66sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  U DECID  k  e.  B )
6867r19.21bi 2545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  -> DECID  k  e.  B
)
698, 57, 68ifcldcd 3540 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  e.  CC )
7015, 63, 69fprodmul 11488 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( prod_
k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )
714eleq2d 2227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  k  e.  ( A  u.  B ) ) )
72 elun 3248 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
7371, 72bitrdi 195 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B )
) )
7473biimpa 294 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  (
k  e.  A  \/  k  e.  B )
)
75 disjel 3448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
7626, 75sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
7776iffalsed 3515 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  1 )
786, 77oveq12d 5842 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( C  x.  1 ) )
799mulid1d 7895 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  x.  1 )  =  C )
8078, 79eqtrd 2190 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  C )
8176ex 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
) )
8281con2d 614 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  ->  -.  k  e.  A
) )
8382imp 123 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  -.  k  e.  A )
8483iffalsed 3515 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  1 )
8584, 22oveq12d 5842 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( 1  x.  C ) )
8624mulid2d 7896 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
1  x.  C )  =  C )
8785, 86eqtrd 2190 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  C )
8880, 87jaodan 787 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )  -> 
( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C , 
1 ) )  =  C )
8974, 88syldan 280 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  C )
9089prodeq2dv 11463 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  prod_ k  e.  U  C )
9156, 70, 903eqtr2rd 2197 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  C  =  ( prod_ k  e.  A  C  x.  prod_ k  e.  B  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698  DECID wdc 820    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435    \ cdif 3099    u. cun 3100    i^i cin 3101   (/)c0 3394   ifcif 3505  (class class class)co 5824   Fincfn 6685   CCcc 7730   1c1 7733    x. cmul 7737   prod_cprod 11447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-frec 6338  df-1o 6363  df-oadd 6367  df-er 6480  df-en 6686  df-dom 6687  df-fin 6688  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-ihash 10650  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176  df-proddc 11448
This theorem is referenced by:  fprodsplit  11494  fprodm1  11495  fprod1p  11496  fprodunsn  11501  fprodeq0  11514
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