Theorem fprodsplitdc 11559

Description: Split a finite product into two parts. New proofs should use fprodsplit 11560 which is the same but with one fewer hypothesis. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitdc.1	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fprodsplitdc.2	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fprodsplitdc.3	|- ( ph -> U e. Fin )
fprodsplitdc.a	|- ( ph -> A. j e. U DECID j e. A )
fprodsplitdc.4	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitdc	|- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j, k   ph, j, k   U, j, k

Allowed substitution hints:   C( j, k)

Proof of Theorem fprodsplitdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3531	. . . . 5 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 1 ) = C )
2	1	prodeq2i 11525	. . . 4 |- prod_ k e. A if ( k e. A , C , 1 ) = prod_ k e. A C
3		ssun1 3290	. . . . . 6 |- A C_ ( A u. B )
4		fprodsplitdc.2	. . . . . 6 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
5	3, 4	sseqtrrid 3198	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ U )
6	1	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = C )
7	5	sselda 3147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. U )
8		fprodsplitdc.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
9	7, 8	syldan 280	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
10	6, 9	eqeltrd 2247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 1 ) e. CC )
11		fprodsplitdc.a	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. U DECID j e. A )
12		eldifn 3250	. . . . . . 7 |- ( k e. ( U \ A ) -> -. k e. A )
13	12	iffalsed 3536	. . . . . 6 |- ( k e. ( U \ A ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = 1 )
14	13	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( U \ A ) ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = 1 )
15		fprodsplitdc.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. Fin )
16	5, 10, 11, 14, 15	fprodssdc 11553	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. A if ( k e. A , C , 1 ) = prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) )
17	2, 16	eqtr3id 2217	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) )
18		iftrue 3531	. . . . 5 |- ( k e. B -> if ( k e. B , C , 1 ) = C )
19	18	prodeq2i 11525	. . . 4 |- prod_ k e. B if ( k e. B , C , 1 ) = prod_ k e. B C
20		ssun2 3291	. . . . . 6 |- B C_ ( A u. B )
21	20, 4	sseqtrrid 3198	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ U )
22	18	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = C )
23	21	sselda 3147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. U )
24	23, 8	syldan 280	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
25	22, 24	eqeltrd 2247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 1 ) e. CC )
26		fprodsplitdc.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
27		disj 3463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> A. j e. A -. j e. B )
28	26, 27	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. j e. A -. j e. B )
29	28	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) -> A. j e. A -. j e. B )
30	29	r19.21bi 2558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ j e. A ) -> -. j e. B )
31	30	olcd 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ j e. A ) -> ( j e. B \/ -. j e. B ) )
32		df-dc 830	. . . . . . . . . 10 |- (DECID j e. B <-> ( j e. B \/ -. j e. B ) )
33	31, 32	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ j e. A ) -> DECID j e. B )
34		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> -. j e. A )
35		simpllr 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> j e. U )
36	4	eleq2d 2240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( j e. U <-> j e. ( A u. B ) ) )
37	36	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. U <-> j e. ( A u. B ) ) )
38	35, 37	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> j e. ( A u. B ) )
39		elun 3268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( A u. B ) <-> ( j e. A \/ j e. B ) )
40	38, 39	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. A \/ j e. B ) )
41	40	orcomd 724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. B \/ j e. A ) )
42	34, 41	ecased 1344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> j e. B )
43	42	orcd 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> ( j e. B \/ -. j e. B ) )
44	43, 32	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) /\ -. j e. A ) -> DECID j e. B )
45		exmiddc 831	. . . . . . . . . 10 |- (DECID j e. A -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
46	45	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
47	33, 44, 46	mpjaodan 793	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. U ) /\ DECID j e. A ) -> DECID j e. B )
48	47	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> (DECID j e. A -> DECID j e. B ) )
49	48	ralimdva 2537	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. j e. U DECID j e. A -> A. j e. U DECID j e. B ) )
50	11, 49	mpd 13	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. U DECID j e. B )
51		eldifn 3250	. . . . . . 7 |- ( k e. ( U \ B ) -> -. k e. B )
52	51	iffalsed 3536	. . . . . 6 |- ( k e. ( U \ B ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = 1 )
53	52	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( U \ B ) ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = 1 )
54	21, 25, 50, 53, 15	fprodssdc 11553	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. B if ( k e. B , C , 1 ) = prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) )
55	19, 54	eqtr3id 2217	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. B C = prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) )
56	17, 55	oveq12d 5871	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) = ( prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) x. prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) ) )
57		1cnd 7936	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> 1 e. CC )
58		eleq1w 2231	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
59	58	dcbid 833	. . . . . . 7 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
60	59	cbvralv 2696	. . . . . 6 |- ( A. j e. U DECID j e. A <-> A. k e. U DECID k e. A )
61	11, 60	sylib 121	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. U DECID k e. A )
62	61	r19.21bi 2558	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. A )
63	8, 57, 62	ifcldcd 3561	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. A , C , 1 ) e. CC )
64		eleq1w 2231	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( j e. B <-> k e. B ) )
65	64	dcbid 833	. . . . . . 7 |- ( j = k -> (DECID j e. B <-> DECID k e. B ) )
66	65	cbvralv 2696	. . . . . 6 |- ( A. j e. U DECID j e. B <-> A. k e. U DECID k e. B )
67	50, 66	sylib 121	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. U DECID k e. B )
68	67	r19.21bi 2558	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> DECID k e. B )
69	8, 57, 68	ifcldcd 3561	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. B , C , 1 ) e. CC )
70	15, 63, 69	fprodmul 11554	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. U ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) x. prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) ) )
71	4	eleq2d 2240	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. U <-> k e. ( A u. B ) ) )
72		elun 3268	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
73	71, 72	bitrdi 195	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. U <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
74	73	biimpa 294	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( k e. A \/ k e. B ) )
75		disjel 3469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ k e. A ) -> -. k e. B )
76	26, 75	sylan 281	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
77	76	iffalsed 3536	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = 1 )
78	6, 77	oveq12d 5871	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( C x. 1 ) )
79	9	mulid1d 7937	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C x. 1 ) = C )
80	78, 79	eqtrd 2203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
81	76	ex 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
82	81	con2d 619	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. B -> -. k e. A ) )
83	82	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> -. k e. A )
84	83	iffalsed 3536	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = 1 )
85	84, 22	oveq12d 5871	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( 1 x. C ) )
86	24	mulid2d 7938	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( 1 x. C ) = C )
87	85, 86	eqtrd 2203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
88	80, 87	jaodan 792	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. A \/ k e. B ) ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
89	74, 88	syldan 280	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
90	89	prodeq2dv 11529	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. U ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = prod_ k e. U C )
91	56, 70, 90	3eqtr2rd 2210	1 |- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   \ cdif 3118   u. cun 3119   i^i cin 3120   (/)c0 3414   ifcif 3526  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772   1c1 7775   x. cmul 7779   prod_cprod 11513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514

This theorem is referenced by:  fprodsplit  11560  fprodm1  11561  fprod1p  11562  fprodunsn  11567  fprodeq0  11580