Theorem ine0 8684

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8290	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0lt1 8416	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	gtneii 8385	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2416	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
5		oveq2 6066	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6		ax-icn 8238	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	mul01i 8681	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2284	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
9	8	oveq1d 6073	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10		ax-1cn 8236	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	addlidi 8432	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
12		ax-i2m1 8248	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2290	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
14	4, 13	mto 668	. 2 ⊢ ¬ i = 0
15	14	neir 2417	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1398   ≠ wne 2414  (class class class)co 6058  0cc0 8143  1c1 8144  ici 8145   + caddc 8146   · cmul 8148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-sub 8462

This theorem is referenced by:  inelr  8875