Theorem ine0 8415

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8021	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0lt1 8148	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	gtneii 8117	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2366	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
5		oveq2 5927	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6		ax-icn 7969	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	mul01i 8412	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2243	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
9	8	oveq1d 5934	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10		ax-1cn 7967	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	addid2i 8164	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
12		ax-i2m1 7979	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2249	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
14	4, 13	mto 663	. 2 ⊢ ¬ i = 0
15	14	neir 2367	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1364   ≠ wne 2364  (class class class)co 5919  0cc0 7874  1c1 7875  ici 7876   + caddc 7877   · cmul 7879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-sub 8194

This theorem is referenced by:  inelr  8605