ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ine0 GIF version

Theorem ine0 8351
Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0 i ≠ 0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 0re 7957 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 0lt1 8084 . . . . 5 0 < 1
31, 2gtneii 8053 . . . 4 1 ≠ 0
43neii 2349 . . 3 ¬ 1 = 0
5 oveq2 5883 . . . . . 6 (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6 ax-icn 7906 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
76mul01i 8348 . . . . . 6 (i · 0) = 0
85, 7eqtr2di 2227 . . . . 5 (i = 0 → 0 = (i · i))
98oveq1d 5890 . . . 4 (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10 ax-1cn 7904 . . . . 5 1 ∈ ℂ
1110addid2i 8100 . . . 4 (0 + 1) = 1
12 ax-i2m1 7916 . . . 4 ((i · i) + 1) = 0
139, 11, 123eqtr3g 2233 . . 3 (i = 0 → 1 = 0)
144, 13mto 662 . 2 ¬ i = 0
1514neir 2350 1 i ≠ 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353  wne 2347  (class class class)co 5875  0cc0 7811  1c1 7812  ici 7813   + caddc 7814   · cmul 7816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-sub 8130
This theorem is referenced by:  inelr  8541
  Copyright terms: Public domain W3C validator