Theorem ine0 8723

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8327	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0lt1 8455	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	gtneii 8423	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2422	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
5		oveq2 6093	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6		ax-icn 8275	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	mul01i 8720	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2288	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
9	8	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10		ax-1cn 8273	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	addlidi 8471	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
12		ax-i2m1 8285	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2294	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
14	4, 13	mto 672	. 2 ⊢ ¬ i = 0
15	14	neir 2423	1 ⊢ i ≠ 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ≠ wne 2420  (class class class)co 6085  0cc0 8180  1c1 8181  ici 8182   + caddc 8183   · cmul 8185

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-sub 8501

This theorem is used by:  inelr  8915