ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ine0 GIF version

Theorem ine0 7851
Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0 i ≠ 0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 0re 7467 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 0lt1 7589 . . . . 5 0 < 1
31, 2gtneii 7559 . . . 4 1 ≠ 0
43neii 2257 . . 3 ¬ 1 = 0
5 oveq2 5642 . . . . . 6 (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6 ax-icn 7419 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
76mul01i 7848 . . . . . 6 (i · 0) = 0
85, 7syl6req 2137 . . . . 5 (i = 0 → 0 = (i · i))
98oveq1d 5649 . . . 4 (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10 ax-1cn 7417 . . . . 5 1 ∈ ℂ
1110addid2i 7604 . . . 4 (0 + 1) = 1
12 ax-i2m1 7429 . . . 4 ((i · i) + 1) = 0
139, 11, 123eqtr3g 2143 . . 3 (i = 0 → 1 = 0)
144, 13mto 623 . 2 ¬ i = 0
1514neir 2258 1 i ≠ 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1289  wne 2255  (class class class)co 5634  0cc0 7329  1c1 7330  ici 7331   + caddc 7332   · cmul 7334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-ltxr 7506  df-sub 7634
This theorem is referenced by:  inelr  8037
  Copyright terms: Public domain W3C validator