Theorem ine0 8465

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8071	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0lt1 8198	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	gtneii 8167	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2377	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
5		oveq2 5951	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6		ax-icn 8019	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	mul01i 8462	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2254	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
9	8	oveq1d 5958	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10		ax-1cn 8017	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	addlidi 8214	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
12		ax-i2m1 8029	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2260	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
14	4, 13	mto 663	. 2 ⊢ ¬ i = 0
15	14	neir 2378	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1372   ≠ wne 2375  (class class class)co 5943  0cc0 7924  1c1 7925  ici 7926   + caddc 7927   · cmul 7929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-sub 8244

This theorem is referenced by:  inelr  8656