Theorem ine0 8540

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0lt1 8273	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	gtneii 8242	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2402	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
5		oveq2 6009	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6		ax-icn 8094	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	mul01i 8537	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2279	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
9	8	oveq1d 6016	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10		ax-1cn 8092	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	addlidi 8289	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
12		ax-i2m1 8104	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2285	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
14	4, 13	mto 666	. 2 ⊢ ¬ i = 0
15	14	neir 2403	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1395   ≠ wne 2400  (class class class)co 6001  0cc0 7999  1c1 8000  ici 8001   + caddc 8002   · cmul 8004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-sub 8319

This theorem is referenced by:  inelr  8731