Theorem ine0 8448

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8054	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0lt1 8181	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	gtneii 8150	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2377	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
5		oveq2 5942	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6		ax-icn 8002	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	mul01i 8445	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2254	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
9	8	oveq1d 5949	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10		ax-1cn 8000	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	addlidi 8197	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
12		ax-i2m1 8012	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2260	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
14	4, 13	mto 663	. 2 ⊢ ¬ i = 0
15	14	neir 2378	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1372   ≠ wne 2375  (class class class)co 5934  0cc0 7907  1c1 7908  ici 7909   + caddc 7910   · cmul 7912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-sub 8227

This theorem is referenced by:  inelr  8639