Theorem ine0 8711

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8316	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0lt1 8443	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	gtneii 8411	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2422	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
5		oveq2 6083	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6		ax-icn 8264	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	mul01i 8708	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2288	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
9	8	oveq1d 6090	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10		ax-1cn 8262	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	addlidi 8459	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
12		ax-i2m1 8274	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2294	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
14	4, 13	mto 672	. 2 ⊢ ¬ i = 0
15	14	neir 2423	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1402   ≠ wne 2420  (class class class)co 6075  0cc0 8169  1c1 8170  ici 8171   + caddc 8172   · cmul 8174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-sub 8489

This theorem is referenced by:  inelr  8902