ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ine0 GIF version

Theorem ine0 8163
Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0 i ≠ 0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 0re 7773 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 0lt1 7896 . . . . 5 0 < 1
31, 2gtneii 7866 . . . 4 1 ≠ 0
43neii 2310 . . 3 ¬ 1 = 0
5 oveq2 5782 . . . . . 6 (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6 ax-icn 7722 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
76mul01i 8160 . . . . . 6 (i · 0) = 0
85, 7syl6req 2189 . . . . 5 (i = 0 → 0 = (i · i))
98oveq1d 5789 . . . 4 (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10 ax-1cn 7720 . . . . 5 1 ∈ ℂ
1110addid2i 7912 . . . 4 (0 + 1) = 1
12 ax-i2m1 7732 . . . 4 ((i · i) + 1) = 0
139, 11, 123eqtr3g 2195 . . 3 (i = 0 → 1 = 0)
144, 13mto 651 . 2 ¬ i = 0
1514neir 2311 1 i ≠ 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1331  wne 2308  (class class class)co 5774  0cc0 7627  1c1 7628  ici 7629   + caddc 7630   · cmul 7632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-ltxr 7812  df-sub 7942
This theorem is referenced by:  inelr  8353
  Copyright terms: Public domain W3C validator