Theorem ine0 8292

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7899	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0lt1 8025	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	gtneii 7994	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2338	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
5		oveq2 5850	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6		ax-icn 7848	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	mul01i 8289	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2216	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
9	8	oveq1d 5857	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10		ax-1cn 7846	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	addid2i 8041	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
12		ax-i2m1 7858	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2222	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
14	4, 13	mto 652	. 2 ⊢ ¬ i = 0
15	14	neir 2339	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1343   ≠ wne 2336  (class class class)co 5842  0cc0 7753  1c1 7754  ici 7755   + caddc 7756   · cmul 7758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938  df-sub 8071

This theorem is referenced by:  inelr  8482