Theorem ine0 8347

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7954	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0lt1 8080	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	gtneii 8049	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2349	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
5		oveq2 5880	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6		ax-icn 7903	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	mul01i 8344	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2227	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
9	8	oveq1d 5887	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10		ax-1cn 7901	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	addid2i 8096	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
12		ax-i2m1 7913	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2233	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
14	4, 13	mto 662	. 2 ⊢ ¬ i = 0
15	14	neir 2350	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1353   ≠ wne 2347  (class class class)co 5872  0cc0 7808  1c1 7809  ici 7810   + caddc 7811   · cmul 7813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-sub 8126

This theorem is referenced by:  inelr  8537