Theorem ine0 8420

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8026	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0lt1 8153	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	gtneii 8122	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2369	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
5		oveq2 5930	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6		ax-icn 7974	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	mul01i 8417	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2246	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
9	8	oveq1d 5937	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10		ax-1cn 7972	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	addlidi 8169	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
12		ax-i2m1 7984	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2252	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
14	4, 13	mto 663	. 2 ⊢ ¬ i = 0
15	14	neir 2370	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1364   ≠ wne 2367  (class class class)co 5922  0cc0 7879  1c1 7880  ici 7881   + caddc 7882   · cmul 7884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-sub 8199

This theorem is referenced by:  inelr  8611