Theorem ine0 8180

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7790	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0lt1 7913	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	gtneii 7883	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2311	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
5		oveq2 5790	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6		ax-icn 7739	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	mul01i 8177	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2190	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
9	8	oveq1d 5797	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10		ax-1cn 7737	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	addid2i 7929	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
12		ax-i2m1 7749	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2196	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
14	4, 13	mto 652	. 2 ⊢ ¬ i = 0
15	14	neir 2312	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1332   ≠ wne 2309  (class class class)co 5782  0cc0 7644  1c1 7645  ici 7646   + caddc 7647   · cmul 7649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829  df-sub 7959

This theorem is referenced by:  inelr  8370