Theorem ine0 8667

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8274	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0lt1 8400	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	gtneii 8369	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2414	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
5		oveq2 6058	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6		ax-icn 8222	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	mul01i 8664	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2282	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
9	8	oveq1d 6065	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10		ax-1cn 8220	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	addlidi 8416	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
12		ax-i2m1 8232	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2288	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
14	4, 13	mto 668	. 2 ⊢ ¬ i = 0
15	14	neir 2415	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1398   ≠ wne 2412  (class class class)co 6050  0cc0 8127  1c1 8128  ici 8129   + caddc 8130   · cmul 8132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-sub 8446

This theorem is referenced by:  inelr  8858