Theorem ine0 8486

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8092	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0lt1 8219	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	gtneii 8188	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2379	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
5		oveq2 5965	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6		ax-icn 8040	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	mul01i 8483	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2256	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
9	8	oveq1d 5972	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10		ax-1cn 8038	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	addlidi 8235	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
12		ax-i2m1 8050	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2262	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
14	4, 13	mto 664	. 2 ⊢ ¬ i = 0
15	14	neir 2380	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1373   ≠ wne 2377  (class class class)co 5957  0cc0 7945  1c1 7946  ici 7947   + caddc 7948   · cmul 7950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-sub 8265

This theorem is referenced by:  inelr  8677