Theorem ine0 8572

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8178	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0lt1 8305	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	gtneii 8274	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	neii 2404	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
5		oveq2 6025	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
6		ax-icn 8126	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	mul01i 8569	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2281	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
9	8	oveq1d 6032	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
10		ax-1cn 8124	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	10	addlidi 8321	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
12		ax-i2m1 8136	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2287	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
14	4, 13	mto 668	. 2 ⊢ ¬ i = 0
15	14	neir 2405	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1397   ≠ wne 2402  (class class class)co 6017  0cc0 8031  1c1 8032  ici 8033   + caddc 8034   · cmul 8036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-sub 8351

This theorem is referenced by:  inelr  8763