Theorem mul01d 8722

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mul01d	|- ( ph -> ( A x. 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mul01 8718	. 2 |- ( A e. CC -> ( A x. 0 ) = 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A x. 0 ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8178   0cc0 8180   x. cmul 8185

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8501

This theorem is used by:  mulap0r  8946  diveqap0  9015  div0ap  9035  mulle0r  9277  un0mulcl  9602  modqid  10801  addmodlteq  10850  expmul  11036  bcval5  11217  hashf1lem2  11302  hashf1  11303  fsummulc2  12234  geolim  12297  fprodeq0  12403  0dvds  12597  gcdaddm  12780  bezoutlema  12795  bezoutlemb  12796  lcmgcd  12875  mulgcddvds  12891  cncongr2  12901  prmdiv  13036  pcaddlem  13141  qexpz  13154  mulgnn0ass  14014  dvcnp2cntop  15891  plymullem1  15940  dvply1  15957  sin0pilem1  15974  sin0pilem2  15975  sinmpi  16008  cosmpi  16009  sinppi  16010  cosppi  16011  lgsdilem  16312  lgsdir2  16318  lgsdirnn0  16332  lgsdinn0  16333  lgsquad3  16369  trilpolemclim  17252  trilpolemisumle  17254  trilpolemeq1  17256  nconstwlpolem0  17280