Theorem mul01d 8721

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mul01d	|- ( ph -> ( A x. 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mul01 8717	. 2 |- ( A e. CC -> ( A x. 0 ) = 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A x. 0 ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   x. cmul 8184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8500

This theorem is used by:  mulap0r  8945  diveqap0  9014  div0ap  9034  mulle0r  9276  un0mulcl  9601  modqid  10799  addmodlteq  10848  expmul  11034  bcval5  11215  hashf1lem2  11300  hashf1  11301  fsummulc2  12231  geolim  12294  fprodeq0  12400  0dvds  12594  gcdaddm  12777  bezoutlema  12792  bezoutlemb  12793  lcmgcd  12872  mulgcddvds  12888  cncongr2  12898  prmdiv  13033  pcaddlem  13138  qexpz  13151  mulgnn0ass  14010  dvcnp2cntop  15849  plymullem1  15898  dvply1  15915  sin0pilem1  15932  sin0pilem2  15933  sinmpi  15966  cosmpi  15967  sinppi  15968  cosppi  15969  lgsdilem  16244  lgsdir2  16250  lgsdirnn0  16264  lgsdinn0  16265  lgsquad3  16301  trilpolemclim  17183  trilpolemisumle  17185  trilpolemeq1  17187  nconstwlpolem0  17211