Theorem mul01d 8666

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mul01d	|- ( ph -> ( A x. 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mul01 8662	. 2 |- ( A e. CC -> ( A x. 0 ) = 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A x. 0 ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203  (class class class)co 6050   CCcc 8125   0cc0 8127   x. cmul 8132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446

This theorem is referenced by:  mulap0r  8889  diveqap0  8956  div0ap  8976  mulle0r  9218  un0mulcl  9530  modqid  10711  addmodlteq  10760  expmul  10946  bcval5  11125  fsummulc2  12134  geolim  12197  fprodeq0  12303  0dvds  12497  gcdaddm  12680  bezoutlema  12695  bezoutlemb  12696  lcmgcd  12775  mulgcddvds  12791  cncongr2  12801  prmdiv  12932  pcaddlem  13037  qexpz  13050  mulgnn0ass  13875  dvcnp2cntop  15564  plymullem1  15613  dvply1  15630  sin0pilem1  15646  sin0pilem2  15647  sinmpi  15680  cosmpi  15681  sinppi  15682  cosppi  15683  lgsdilem  15900  lgsdir2  15906  lgsdirnn0  15920  lgsdinn0  15921  lgsquad3  15957  trilpolemclim  16820  trilpolemisumle  16822  trilpolemeq1  16824  nconstwlpolem0  16849