Theorem mul01d 8350

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mul01d	|- ( ph -> ( A x. 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mul01 8346	. 2 |- ( A e. CC -> ( A x. 0 ) = 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A x. 0 ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5875   CCcc 7809   0cc0 7811   x. cmul 7816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-sub 8130

This theorem is referenced by:  mulap0r  8572  diveqap0  8639  div0ap  8659  mulle0r  8901  un0mulcl  9210  modqid  10349  addmodlteq  10398  expmul  10565  bcval5  10743  fsummulc2  11456  geolim  11519  fprodeq0  11625  0dvds  11818  gcdaddm  11985  bezoutlema  12000  bezoutlemb  12001  lcmgcd  12078  mulgcddvds  12094  cncongr2  12104  prmdiv  12235  pcaddlem  12338  qexpz  12350  mulgnn0ass  13019  dvcnp2cntop  14166  sin0pilem1  14205  sin0pilem2  14206  sinmpi  14239  cosmpi  14240  sinppi  14241  cosppi  14242  lgsdilem  14431  lgsdir2  14437  lgsdirnn0  14451  lgsdinn0  14452  trilpolemclim  14787  trilpolemisumle  14789  trilpolemeq1  14791  nconstwlpolem0  14813