Theorem mul01d 8535

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mul01d	|- ( ph -> ( A x. 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mul01 8531	. 2 |- ( A e. CC -> ( A x. 0 ) = 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A x. 0 ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6000   CCcc 7993   0cc0 7995   x. cmul 8000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315

This theorem is referenced by:  mulap0r  8758  diveqap0  8825  div0ap  8845  mulle0r  9087  un0mulcl  9399  modqid  10566  addmodlteq  10615  expmul  10801  bcval5  10980  fsummulc2  11954  geolim  12017  fprodeq0  12123  0dvds  12317  gcdaddm  12500  bezoutlema  12515  bezoutlemb  12516  lcmgcd  12595  mulgcddvds  12611  cncongr2  12621  prmdiv  12752  pcaddlem  12857  qexpz  12870  mulgnn0ass  13690  dvcnp2cntop  15367  plymullem1  15416  dvply1  15433  sin0pilem1  15449  sin0pilem2  15450  sinmpi  15483  cosmpi  15484  sinppi  15485  cosppi  15486  lgsdilem  15700  lgsdir2  15706  lgsdirnn0  15720  lgsdinn0  15721  lgsquad3  15757  trilpolemclim  16363  trilpolemisumle  16365  trilpolemeq1  16367  nconstwlpolem0  16390