ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leltap GIF version

Theorem leltap 8409
Description: implies 'less than' is 'apart'. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
leltap ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐵 # 𝐴))

Proof of Theorem leltap
StepHypRef Expression
1 simp3 984 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2 simp1 982 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 simp2 983 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
42, 3lenltd 7902 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
51, 4mpbid 146 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
6 biorf 734 . . 3 𝐵 < 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐵)))
75, 6syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐵)))
8 reaplt 8372 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 # 𝐴 ↔ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐵)))
93, 2, 8syl2anc 409 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 # 𝐴 ↔ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐵)))
107, 9bitr4d 190 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐵 # 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 104  wo 698  w3a 963  wcel 1481   class class class wbr 3935  cr 7641   < clt 7822  cle 7823   # cap 8365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-mulrcl 7741  ax-addcom 7742  ax-mulcom 7743  ax-addass 7744  ax-mulass 7745  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0lt1 7748  ax-1rid 7749  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-precex 7752  ax-cnre 7753  ax-pre-ltirr 7754  ax-pre-lttrn 7756  ax-pre-apti 7757  ax-pre-ltadd 7758  ax-pre-mulgt0 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-br 3936  df-opab 3996  df-id 4221  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fv 5137  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-sub 7957  df-neg 7958  df-reap 8359  df-ap 8366
This theorem is referenced by:  leltapd  8423  gcdn0gt0  11695  isprm3  11828
  Copyright terms: Public domain W3C validator