Theorem gt0ap0 8306

Description: Positive implies apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0	|- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )

Proof of Theorem gt0ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> 0 < A )
2	1	olcd 706	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( A < 0 \/ 0 < A ) )
3		0red 7691	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> 0 e. RR )
4		reaplt 8268	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A # 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
5	3, 4	syldan 278	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( A # 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
6	2, 5	mpbird 166	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 680   e. wcel 1463   class class class wbr 3895   RRcr 7546   0cc0 7547   < clt 7724   # cap 8261

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-ltxr 7729  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262

This theorem is referenced by:  gt0ap0i  8307  gt0ap0d  8309  recgt0  8518  lediv1  8537  gt0div  8538  ge0div  8539  ltdivmul  8544  ltdiv2  8555  recreclt  8568  nnrecl  8879  recnz  9048  divelunit  9678