Theorem lemul2 9187

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 16-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lemul2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A <_ B <-> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) ) )

Proof of Theorem lemul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lemul1 8921	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A <_ B <-> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) ) )
2		recn 8312	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A e. CC )
3		recn 8312	. . . . . 6 |- ( C e. RR -> C e. CC )
4		mulcom 8308	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. C ) = ( C x. A ) )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) = ( C x. A ) )
6	5	3adant2 1047	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) = ( C x. A ) )
7		recn 8312	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B e. CC )
8		mulcom 8308	. . . . . 6 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
9	7, 3, 8	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
10	9	3adant1 1046	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
11	6, 10	breq12d 4143	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) <-> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) ) )
12	11	3adant3r 1266	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) <-> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) ) )
13	1, 12	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A <_ B <-> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500

This theorem is used by:  lediv2  9221  lemul2i  9255  lemul2d  10142  xleaddadd  10289  nnlesq  11080  qexpz  13131  logdivlti  15982  log2tlbndlog2  16082  lgsquadlem1  16196