Theorem lemul1 8929

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lemul1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A <_ B <-> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) ) )

Proof of Theorem lemul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1 8928	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( B < A <-> ( B x. C ) < ( A x. C ) ) )
2	1	notbid 677	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( -. B < A <-> -. ( B x. C ) < ( A x. C ) ) )
3	2	3com12 1238	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( -. B < A <-> -. ( B x. C ) < ( A x. C ) ) )
4		lenlt 8407	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	4	3adant3 1048	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
6		simp1 1028	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> A e. RR )
7		simp3l 1056	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> C e. RR )
8	6, 7	remulcld 8362	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A x. C ) e. RR )
9		simp2 1029	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> B e. RR )
10	9, 7	remulcld 8362	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( B x. C ) e. RR )
11	8, 10	lenltd 8451	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) <-> -. ( B x. C ) < ( A x. C ) ) )
12	3, 5, 11	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A <_ B <-> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   x. cmul 8190   < clt 8366   <_ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507

This theorem is used by:  lemul2  9195  lediv23  9231  lemul1i  9262  div4p1lem1div2  9570  lemul1d  10158  iccdil  10417  expgt1  11035  facubnd  11205  eirraplem  12569  log2tlbndlog2  16220  chtublem  16295  bposlem2  16312  bposlem5  16315  gausslemma2dlem2  16386  2lgslem1a1  16410