ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lemul1a Unicode version
Theorem lemul1a 8829
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemul1a |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) )
Proof of Theorem lemul1a
StepHypRef Expression
1 simpl2 1002 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> B e. RR )
2 simpl1 1001 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> A e. RR )
31, 2resubcld 8352 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( B - A ) e. RR )
4 simpl3l 1053 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> C e. RR )
5 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> A <_ B )
61, 2subge0d 8506 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( 0 <_ ( B - A ) <-> A <_ B ) )
75, 6mpbird 167 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> 0 <_ ( B - A ) )
8 simpl3r 1054 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> 0 <_ C )
93, 4, 7, 8mulge0d 8592 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> 0 <_ ( ( B - A ) x. C ) )
101recnd 8000 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> B e. CC )
112recnd 8000 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> A e. CC )
124recnd 8000 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> C e. CC )
1310, 11, 12subdird 8386 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( ( B - A ) x. C ) = ( ( B x. C ) - ( A x. C ) ) )
149, 13breqtrd 4041 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> 0 <_ ( ( B x. C ) - ( A x. C ) ) )
151, 4remulcld 8002 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( B x. C ) e. RR )
162, 4remulcld 8002 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( A x. C ) e. RR )
1715, 16subge0d 8506 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( 0 <_ ( ( B x. C ) - ( A x. C ) ) <-> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) ) )
1814, 17mpbid 147 1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 979   e. wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   RRcr 7824   0cc0 7825   x. cmul 7830   <_ cle 8007   - cmin 8142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553
This theorem is referenced by:  lemul2a  8830  ltmul12a  8831  lemul12b  8832  lt2msq1  8856  lemul1ad  8910  facavg  10740  resqrexlemover  11033  mulcn2  11334  eftlub  11712
  Copyright terms: Public domain W3C validator