Theorem lidlvalg 14488

Description: Value of the set of ring ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lidlvalg	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))

Proof of Theorem lidlvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lidl 14486	. . 3 ⊢ LIdeal = (LSubSp ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 5640	. 2 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		rlmfn 14470	. . 3 ⊢ ringLMod Fn V
4		elex 2814	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
5		fvco2 5715	. . 3 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))
6	3, 4, 5	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))
7	2, 6	eqtrid 2276	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∘ ccom 4729   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  LSubSpclss 14369  ringLModcrglmod 14451  LIdealclidl 14484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-ip 13180  df-sra 14452  df-rgmod 14453  df-lidl 14486

This theorem is referenced by:  lidlex  14490  lidlss  14493  islidlm  14496  lidl0cl  14500  lidlacl  14501  lidlnegcl  14502  lidl0  14506  lidl1  14507  rspcl  14508  rspssp  14511  lidlrsppropdg  14512