Theorem lidlvalg 14400

Description: Value of the set of ring ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lidlvalg	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))

Proof of Theorem lidlvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lidl 14398	. . 3 ⊢ LIdeal = (LSubSp ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 5604	. 2 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		rlmfn 14382	. . 3 ⊢ ringLMod Fn V
4		elex 2791	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
5		fvco2 5676	. . 3 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))
6	3, 4, 5	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))
7	2, 6	eqtrid 2254	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  Vcvv 2779   ∘ ccom 4700   Fn wfn 5289  ‘cfv 5294  LSubSpclss 14281  ringLModcrglmod 14363  LIdealclidl 14396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1re 8061  ax-addrcl 8064

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-sra 14364  df-rgmod 14365  df-lidl 14398

This theorem is referenced by:  lidlex  14402  lidlss  14405  islidlm  14408  lidl0cl  14412  lidlacl  14413  lidlnegcl  14414  lidl0  14418  lidl1  14419  rspcl  14420  rspssp  14423  lidlrsppropdg  14424