Theorem lidlnegcl 14906

Description: An ideal contains negatives. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	|- U = (LIdeal ` R )
lidlnegcl.n	|- N = ( invg ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidlnegcl	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> ( N ` X ) e. I )

Proof of Theorem lidlnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlnegcl.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` R )
2		rlmvnegg 14886	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( invg ` R ) = ( invg ` (ringLMod ` R ) ) )
3	1, 2	eqtrid 2283	. . . 4 |- ( R e. Ring -> N = ( invg ` (ringLMod ` R ) ) )
4	3	fveq1d 5697	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( N ` X ) = ( ( invg ` (ringLMod ` R ) ) ` X ) )
5	4	3ad2ant1 1049	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> ( N ` X ) = ( ( invg ` (ringLMod ` R ) ) ` X ) )
6		rlmlmod 14885	. . . 4 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
7	6	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
8		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. U )
9		lidlcl.u	. . . . . . 7 |- U = (LIdeal ` R )
10		lidlvalg 14892	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
11	9, 10	eqtrid 2283	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
12	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
13	8, 12	eleqtrd 2317	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
14	13	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
15		simp3 1030	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> X e. I )
16		eqid 2238	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
17		eqid 2238	. . . 4 |- ( invg ` (ringLMod ` R ) ) = ( invg ` (ringLMod ` R ) )
18	16, 17	lssvnegcl 14797	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) /\ X e. I ) -> ( ( invg ` (ringLMod ` R ) ) ` X ) e. I )
19	7, 14, 15, 18	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> ( ( invg ` (ringLMod ` R ) ) ` X ) e. I )
20	5, 19	eqeltrd 2315	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> ( N ` X ) e. I )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377   invgcminusg 13859   Ringcrg 14384   LModclmod 14707   LSubSpclss 14773  ringLModcrglmod 14855  LIdealclidl 14888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-ip 13502  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-sbg 13863  df-subg 14026  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-ring 14386  df-subrg 14611  df-lmod 14709  df-lssm 14774  df-sra 14856  df-rgmod 14857  df-lidl 14890

This theorem is used by:  lidlsubg  14907