Theorem lidl0cl 14521

Description: An ideal contains 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	|- U = (LIdeal ` R )
lidl0cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidl0cl	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> .0. e. I )

Proof of Theorem lidl0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidl0cl.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
2		rlm0g 14495	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) )
4	1, 3	eqtrid 2275	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> .0. = ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) )
5		rlmlmod 14502	. . 3 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. U )
7		lidlcl.u	. . . . 5 |- U = (LIdeal ` R )
8		lidlvalg 14509	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
9	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
10	7, 9	eqtrid 2275	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
11	6, 10	eleqtrd 2309	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
12		eqid 2230	. . . 4 |- ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) = ( 0g ` (ringLMod ` R ) )
13		eqid 2230	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
14	12, 13	lss0cl 14407	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) -> ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) e. I )
15	5, 11, 14	syl2an2r 599	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) e. I )
16	4, 15	eqeltrd 2307	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> .0. e. I )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2201   ` cfv 5328   0gc0g 13362   Ringcrg 14033   LModclmod 14325   LSubSpclss 14390  ringLModcrglmod 14472  LIdealclidl 14505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-ltxr 8224  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201  df-0g 13364  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609  df-minusg 13610  df-sbg 13611  df-subg 13780  df-mgp 13958  df-ur 13997  df-ring 14035  df-subrg 14257  df-lmod 14327  df-lssm 14391  df-sra 14473  df-rgmod 14474  df-lidl 14507

This theorem is referenced by:  lidlsubg  14524