Theorem lidl0cl 14500

Description: An ideal contains 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	|- U = (LIdeal ` R )
lidl0cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidl0cl	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> .0. e. I )

Proof of Theorem lidl0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidl0cl.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
2		rlm0g 14474	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) )
4	1, 3	eqtrid 2276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> .0. = ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) )
5		rlmlmod 14481	. . 3 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. U )
7		lidlcl.u	. . . . 5 |- U = (LIdeal ` R )
8		lidlvalg 14488	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
9	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
10	7, 9	eqtrid 2276	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
11	6, 10	eleqtrd 2310	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
12		eqid 2231	. . . 4 |- ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) = ( 0g ` (ringLMod ` R ) )
13		eqid 2231	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
14	12, 13	lss0cl 14386	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) -> ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) e. I )
15	5, 11, 14	syl2an2r 599	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) e. I )
16	4, 15	eqeltrd 2308	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> .0. e. I )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326   0gc0g 13341   Ringcrg 14012   LModclmod 14304   LSubSpclss 14369  ringLModcrglmod 14451  LIdealclidl 14484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-ip 13180  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-minusg 13589  df-sbg 13590  df-subg 13759  df-mgp 13937  df-ur 13976  df-ring 14014  df-subrg 14236  df-lmod 14306  df-lssm 14370  df-sra 14452  df-rgmod 14453  df-lidl 14486

This theorem is referenced by:  lidlsubg  14503