Theorem lidl0cl 14455

Description: An ideal contains 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	|- U = (LIdeal ` R )
lidl0cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidl0cl	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> .0. e. I )

Proof of Theorem lidl0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidl0cl.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
2		rlm0g 14429	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) )
4	1, 3	eqtrid 2274	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> .0. = ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) )
5		rlmlmod 14436	. . 3 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. U )
7		lidlcl.u	. . . . 5 |- U = (LIdeal ` R )
8		lidlvalg 14443	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
9	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
10	7, 9	eqtrid 2274	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
11	6, 10	eleqtrd 2308	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
12		eqid 2229	. . . 4 |- ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) = ( 0g ` (ringLMod ` R ) )
13		eqid 2229	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
14	12, 13	lss0cl 14341	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) -> ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) e. I )
15	5, 11, 14	syl2an2r 597	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) e. I )
16	4, 15	eqeltrd 2306	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> .0. e. I )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318   0gc0g 13297   Ringcrg 13967   LModclmod 14259   LSubSpclss 14324  ringLModcrglmod 14406  LIdealclidl 14439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-ip 13136  df-0g 13299  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-sbg 13546  df-subg 13715  df-mgp 13892  df-ur 13931  df-ring 13969  df-subrg 14191  df-lmod 14261  df-lssm 14325  df-sra 14407  df-rgmod 14408  df-lidl 14441

This theorem is referenced by:  lidlsubg  14458