Theorem lidl1 14419

Description: Every ring contains a unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidl0.u	|- U = (LIdeal ` R )
lidl1.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidl1	|- ( R e. Ring -> B e. U )

Proof of Theorem lidl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14393	. . 3 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
2		eqid 2209	. . . 4 |- ( Base ` (ringLMod ` R ) ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) )
3		eqid 2209	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
4	2, 3	lss1 14291	. . 3 |- ( (ringLMod ` R ) e. LMod -> ( Base ` (ringLMod ` R ) ) e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( R e. Ring -> ( Base ` (ringLMod ` R ) ) e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
6		lidl1.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
7		rlmbasg 14384	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
8	6, 7	eqtrid 2254	. 2 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
9		lidl0.u	. . 3 |- U = (LIdeal ` R )
10		lidlvalg 14400	. . 3 |- ( R e. Ring -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
11	9, 10	eqtrid 2254	. 2 |- ( R e. Ring -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
12	5, 8, 11	3eltr4d 2293	1 |- ( R e. Ring -> B e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1375   e. wcel 2180   ` cfv 5294   Basecbs 12998   Ringcrg 13925   LModclmod 14216   LSubSpclss 14281  ringLModcrglmod 14363  LIdealclidl 14396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-subg 13673  df-mgp 13850  df-ur 13889  df-ring 13927  df-subrg 14148  df-lmod 14218  df-lssm 14282  df-sra 14364  df-rgmod 14365  df-lidl 14398

This theorem is referenced by:  ridl1  14440  2idl1  14442