Theorem lmodvs0 14128

Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvs0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvs0.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvs0.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvs0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvs0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem lmodvs0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvs0.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodring 14101	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3		lmodvs0.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
5		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
6	3, 4, 5	ringrz 13850	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
7	2, 6	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
8	7	oveq1d 5966	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) · 0 ) = ((0g‘𝐹) · 0 ))
9		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
10		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
11	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ Ring)
12	3, 5	ring0cl 13827	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (0g‘𝐹) ∈ 𝐾)
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (0g‘𝐹) ∈ 𝐾)
14		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15		lmodvs0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
16	14, 15	lmod0vcl 14123	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
17	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 0 ∈ (Base‘𝑊))
18		lmodvs0.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
19	14, 1, 18, 3, 4	lmodvsass 14119	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝐹) ∈ 𝐾 ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · ((0g‘𝐹) · 0 )))
20	9, 10, 13, 17, 19	syl13anc 1252	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · ((0g‘𝐹) · 0 )))
21	14, 1, 18, 5, 15	lmod0vs 14127	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘𝐹) · 0 ) = 0 )
22	17, 21	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((0g‘𝐹) · 0 ) = 0 )
23	22	oveq2d 5967	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 · ((0g‘𝐹) · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
24	20, 23	eqtrd 2239	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · 0 ))
25	8, 24, 22	3eqtr3d 2247	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Basecbs 12876  ._rcmulr 12954  Scalarcsca 12956   ·_𝑠 cvsca 12957  0_gc0g 13132  Ringcrg 13802  LModclmod 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-mgp 13727  df-ring 13804  df-lmod 14095

This theorem is referenced by:  lmodfopne  14132  lsssn0  14176