Theorem lmodvs0 14251

Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvs0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvs0.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvs0.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvs0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvs0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem lmodvs0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvs0.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodring 14224	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3		lmodvs0.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		eqid 2209	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
5		eqid 2209	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
6	3, 4, 5	ringrz 13973	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
7	2, 6	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
8	7	oveq1d 5989	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) · 0 ) = ((0g‘𝐹) · 0 ))
9		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
10		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
11	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ Ring)
12	3, 5	ring0cl 13950	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (0g‘𝐹) ∈ 𝐾)
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (0g‘𝐹) ∈ 𝐾)
14		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15		lmodvs0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
16	14, 15	lmod0vcl 14246	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
17	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 0 ∈ (Base‘𝑊))
18		lmodvs0.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
19	14, 1, 18, 3, 4	lmodvsass 14242	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝐹) ∈ 𝐾 ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · ((0g‘𝐹) · 0 )))
20	9, 10, 13, 17, 19	syl13anc 1254	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · ((0g‘𝐹) · 0 )))
21	14, 1, 18, 5, 15	lmod0vs 14250	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘𝐹) · 0 ) = 0 )
22	17, 21	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((0g‘𝐹) · 0 ) = 0 )
23	22	oveq2d 5990	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 · ((0g‘𝐹) · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
24	20, 23	eqtrd 2242	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · 0 ))
25	8, 24, 22	3eqtr3d 2250	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  ._rcmulr 13077  Scalarcsca 13079   ·_𝑠 cvsca 13080  0_gc0g 13255  Ringcrg 13925  LModclmod 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-mgp 13850  df-ring 13927  df-lmod 14218

This theorem is referenced by:  lmodfopne  14255  lsssn0  14299