Theorem lpvtx 15900

Description: The endpoints of a loop (which is an edge at index J) are two (identical) vertices A. (Contributed by AV, 1-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpvtx.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
lpvtx	|- ( ( G e. UHGraph /\ J e. dom I /\ ( I ` J ) = { A } ) -> A e. (Vtx ` G ) )

Proof of Theorem lpvtx

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . . 4 |- ( ( G e. UHGraph /\ J e. dom I /\ ( I ` J ) = { A } ) -> G e. UHGraph )
2		lpvtx.i	. . . . . . 7 |- I = (iEdg ` G )
3	2	uhgrfun 15898	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> Fun I )
4	3	funfnd 5352	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> I Fn dom I )
5	4	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( G e. UHGraph /\ J e. dom I /\ ( I ` J ) = { A } ) -> I Fn dom I )
6		simp2 1022	. . . 4 |- ( ( G e. UHGraph /\ J e. dom I /\ ( I ` J ) = { A } ) -> J e. dom I )
7	2	uhgrm 15899	. . . 4 |- ( ( G e. UHGraph /\ I Fn dom I /\ J e. dom I ) -> E. j j e. ( I ` J ) )
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( G e. UHGraph /\ J e. dom I /\ ( I ` J ) = { A } ) -> E. j j e. ( I ` J ) )
9		eleq2 2293	. . . . 5 |- ( ( I ` J ) = { A } -> ( j e. ( I ` J ) <-> j e. { A } ) )
10	9	exbidv 1871	. . . 4 |- ( ( I ` J ) = { A } -> ( E. j j e. ( I ` J ) <-> E. j j e. { A } ) )
11	10	3ad2ant3 1044	. . 3 |- ( ( G e. UHGraph /\ J e. dom I /\ ( I ` J ) = { A } ) -> ( E. j j e. ( I ` J ) <-> E. j j e. { A } ) )
12	8, 11	mpbid 147	. 2 |- ( ( G e. UHGraph /\ J e. dom I /\ ( I ` J ) = { A } ) -> E. j j e. { A } )
13		eqid 2229	. . . . . 6 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
14	13, 2	uhgrss 15896	. . . . 5 |- ( ( G e. UHGraph /\ J e. dom I ) -> ( I ` J ) C_ (Vtx ` G ) )
15	14	3adant3 1041	. . . 4 |- ( ( G e. UHGraph /\ J e. dom I /\ ( I ` J ) = { A } ) -> ( I ` J ) C_ (Vtx ` G ) )
16		sseq1 3247	. . . . 5 |- ( ( I ` J ) = { A } -> ( ( I ` J ) C_ (Vtx ` G ) <-> { A } C_ (Vtx ` G ) ) )
17	16	3ad2ant3 1044	. . . 4 |- ( ( G e. UHGraph /\ J e. dom I /\ ( I ` J ) = { A } ) -> ( ( I ` J ) C_ (Vtx ` G ) <-> { A } C_ (Vtx ` G ) ) )
18	15, 17	mpbid 147	. . 3 |- ( ( G e. UHGraph /\ J e. dom I /\ ( I ` J ) = { A } ) -> { A } C_ (Vtx ` G ) )
19		snmb 3788	. . . 4 |- ( A e. _V <-> E. j j e. { A } )
20		snssg 3802	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A e. (Vtx ` G ) <-> { A } C_ (Vtx ` G ) ) )
21	19, 20	sylbir 135	. . 3 |- ( E. j j e. { A } -> ( A e. (Vtx ` G ) <-> { A } C_ (Vtx ` G ) ) )
22	18, 21	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( ( G e. UHGraph /\ J e. dom I /\ ( I ` J ) = { A } ) -> ( E. j j e. { A } -> A e. (Vtx ` G ) ) )
23	12, 22	mpd 13	1 |- ( ( G e. UHGraph /\ J e. dom I /\ ( I ` J ) = { A } ) -> A e. (Vtx ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   {csn 3666   dom cdm 4720   Fn wfn 5316   ` cfv 5321  Vtxcvtx 15834  iEdgciedg 15835  UHGraphcuhgr 15888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fo 5327  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-dec 9595  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-edgf 15827  df-vtx 15836  df-iedg 15837  df-uhgrm 15890

This theorem is referenced by: (None)