Theorem lpvtx 16205

Description: The endpoints of a loop (which is an edge at index 𝐽) are two (identical) vertices 𝐴. (Contributed by AV, 1-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpvtx.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lpvtx	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem lpvtx

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		lpvtx.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	2	uhgrfun 16203	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
4	3	funfnd 5389	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐼 Fn dom 𝐼)
5	4	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
6		simp2 1025	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐽 ∈ dom 𝐼)
7	2	uhgrm 16204	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝐽))
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝐽))
9		eleq2 2298	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴} → (𝑗 ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝑗 ∈ {𝐴}))
10	9	exbidv 1874	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴} → (∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ {𝐴}))
11	10	3ad2ant3 1047	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → (∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ {𝐴}))
12	8, 11	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ∃𝑗 𝑗 ∈ {𝐴})
13		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
14	13, 2	uhgrss 16201	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺))
15	14	3adant3 1044	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → (𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺))
16		sseq1 3265	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴} → ((𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
17	16	3ad2ant3 1047	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ((𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
18	15, 17	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺))
19		snmb 3819	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ {𝐴})
20		snssg 3834	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
21	19, 20	sylbir 135	. . 3 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ {𝐴} → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
22	18, 21	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → (∃𝑗 𝑗 ∈ {𝐴} → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
23	12, 22	mpd 13	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ⊆ wss 3214  {csn 3695  dom cdm 4755   Fn wfn 5353  ‘cfv 5358  Vtxcvtx 16138  iEdgciedg 16139  UHGraphcuhgr 16193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fo 5364  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-sub 8464  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-9 9324  df-n0 9518  df-dec 9732  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-edgf 16131  df-vtx 16140  df-iedg 16141  df-uhgrm 16195

This theorem is referenced by: (None)