Theorem lspsnss2 13571

Description: Comparable spans of singletons must have proportional vectors. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnss2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnss2.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lspsnss2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lspsnss2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsnss2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnss2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnss2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsnss2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsnss2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌   · ,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem lspsnss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnss2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2187	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		lspsnss2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspsnss2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lspsnss2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
6	1, 2, 3	lspsncl 13544	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8		lspsnss2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	lspsnel5 13561	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
10		lspsnss2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
11		lspsnss2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
12		lspsnss2.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13	10, 11, 1, 12, 3	lspsnel 13569	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
14	4, 5, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
15	9, 14	bitr3d 190	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∃wrex 2466   ⊆ wss 3141  {csn 3604  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  Scalarcsca 12553   ·_𝑠 cvsca 12554  LModclmod 13439  LSubSpclss 13504  LSpanclspn 13538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-sbg 12901  df-mgp 13163  df-ur 13197  df-ring 13235  df-lmod 13441  df-lssm 13505  df-lsp 13539

This theorem is referenced by: (None)