Theorem lspsnss2 14225

Description: Comparable spans of singletons must have proportional vectors. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnss2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnss2.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lspsnss2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lspsnss2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsnss2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnss2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnss2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsnss2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsnss2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌   · ,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem lspsnss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnss2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2206	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		lspsnss2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspsnss2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lspsnss2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
6	1, 2, 3	lspsncl 14198	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8		lspsnss2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	lspsnel5 14215	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
10		lspsnss2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
11		lspsnss2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
12		lspsnss2.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13	10, 11, 1, 12, 3	ellspsn 14223	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
14	4, 5, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
15	9, 14	bitr3d 190	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486   ⊆ wss 3167  {csn 3634  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Basecbs 12876  Scalarcsca 12956   ·_𝑠 cvsca 12957  LModclmod 14093  LSubSpclss 14158  LSpanclspn 14192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-sbg 13381  df-mgp 13727  df-ur 13766  df-ring 13804  df-lmod 14095  df-lssm 14159  df-lsp 14193

This theorem is referenced by: (None)