ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspun0 GIF version

Theorem lspun0 13701
Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspun0.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspun0.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspun0.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspun0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lspun0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspun0 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜π‘‹))

Proof of Theorem lspun0
StepHypRef Expression
1 lspun0.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lspun0.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
3 lspun0.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lspun0.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
53, 4lmod0vcl 13593 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 0 ∈ 𝑉)
61, 5syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑉)
76snssd 3751 . . 3 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† 𝑉)
8 lspun0.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
93, 8lspun 13678 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ { 0 } βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))))
101, 2, 7, 9syl3anc 1248 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))))
114, 8lspsn0 13698 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
121, 11syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
1312uneq2d 3303 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 })) = ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ { 0 }))
14 eqid 2188 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
153, 14, 8lspcl 13667 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
161, 2, 15syl2anc 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
174, 14lss0ss 13647 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜π‘‹))
181, 16, 17syl2anc 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜π‘‹))
19 ssequn2 3322 . . . . . 6 ({ 0 } βŠ† (π‘β€˜π‘‹) ↔ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ { 0 }) = (π‘β€˜π‘‹))
2018, 19sylib 122 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ { 0 }) = (π‘β€˜π‘‹))
2113, 20eqtrd 2221 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 })) = (π‘β€˜π‘‹))
2221fveq2d 5533 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))) = (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)))
233, 8lspidm 13677 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (π‘β€˜π‘‹))
241, 2, 23syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)) = (π‘β€˜π‘‹))
2522, 24eqtrd 2221 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((π‘β€˜π‘‹) βˆͺ (π‘β€˜{ 0 }))) = (π‘β€˜π‘‹))
2610, 25eqtrd 2221 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑋 βˆͺ { 0 })) = (π‘β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2159   βˆͺ cun 3141   βŠ† wss 3143  {csn 3606  β€˜cfv 5230  Basecbs 12479  0gc0g 12726  LModclmod 13563  LSubSpclss 13628  LSpanclspn 13662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-addass 7930  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltadd 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-ltxr 8014  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-sets 12486  df-plusg 12567  df-mulr 12568  df-sca 12570  df-vsca 12571  df-0g 12728  df-mgm 12797  df-sgrp 12830  df-mnd 12843  df-grp 12913  df-minusg 12914  df-sbg 12915  df-mgp 13235  df-ur 13274  df-ring 13312  df-lmod 13565  df-lssm 13629  df-lsp 13663
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator