Theorem lspun0 14354

Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspun0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspun0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspun0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspun0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspun0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspun0	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem lspun0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspun0.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspun0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
3		lspun0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lspun0.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	3, 4	lmod0vcl 14246	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
6	1, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
7	6	snssd 3792	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑉)
8		lspun0.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	3, 8	lspun 14331	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ { 0 } ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
10	1, 2, 7, 9	syl3anc 1252	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
11	4, 8	lspsn0 14351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
12	1, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
13	12	uneq2d 3338	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = ((𝑁‘𝑋) ∪ { 0 }))
14		eqid 2209	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	3, 14, 8	lspcl 14320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	1, 2, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	4, 14	lss0ss 14300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁‘𝑋))
18	1, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘𝑋))
19		ssequn2 3357	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ⊆ (𝑁‘𝑋) ↔ ((𝑁‘𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁‘𝑋))
20	18, 19	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁‘𝑋))
21	13, 20	eqtrd 2242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = (𝑁‘𝑋))
22	21	fveq2d 5607	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
23	3, 8	lspidm 14330	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
24	1, 2, 23	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
25	22, 24	eqtrd 2242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑁‘𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁‘𝑋))
26	10, 25	eqtrd 2242	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   ∪ cun 3175   ⊆ wss 3177  {csn 3646  ‘cfv 5294  Basecbs 12998  0_gc0g 13255  LModclmod 14216  LSubSpclss 14281  LSpanclspn 14315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-sbg 13504  df-mgp 13850  df-ur 13889  df-ring 13927  df-lmod 14218  df-lssm 14282  df-lsp 14316

This theorem is referenced by: (None)