Theorem mgpbasg 14308

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgpbas.2	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpbasg	|- ( R e. V -> B = ( Base ` M ) )

Proof of Theorem mgpbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		mulrslid 13539	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 13431	. . . 4 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
4		baseslid 13462	. . . . 5 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
5		basendxnplusgndx 13532	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )
6		plusgslid 13519	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
7	6	simpri 113	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
8	4, 5, 7	setsslnid 13456	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( .r ` R ) e. _V ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
9	3, 8	mpdan 425	. . 3 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
10		mgpbas.1	. . . . 5 |- M = (mulGrp ` R )
11		eqid 2238	. . . . 5 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
12	10, 11	mgpvalg 14304	. . . 4 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) )
13	12	fveq2d 5699	. . 3 |- ( R e. V -> ( Base ` M ) = ( Base ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
14	9, 13	eqtr4d 2274	. 2 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` M ) )
15	1, 14	eqtrid 2283	1 |- ( R e. V -> B = ( Base ` M ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3712   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   NNcn 9307   ndxcnx 13401   sSet csts 13402  Slot cslot 13403   Basecbs 13404   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485  mulGrpcmgp 14301

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-mgp 14302

This theorem is used by:  mgpbas  14309  mgptopng  14312  mgpress  14314  rngass  14322  rngcl  14327  isrngd  14336  rngpropd  14338  rng1zrlem  14342  dfur2g  14350  srgcl  14358  srgass  14359  srgideu  14360  srgidcl  14364  srgidmlem  14366  issrgid  14369  srgpcomp  14378  srgpcompp  14379  srgpcomppsc  14380  ringcl  14401  crngcom  14402  iscrng2  14403  ringass  14404  ringideu  14405  ringidcl  14409  ringidmlem  14411  isringid  14414  ringidss  14418  ringpropd  14427  crngpropd  14428  isringd  14430  iscrngd  14431  ring1  14448  oppr1g  14472  unitgrpbasd  14506  unitsubm  14510  rngidpropdg  14537  dfrhm2  14545  rhmmul  14555  isrhm2d  14556  rhmf1o  14559  subrgsubm  14626  issubrg3  14639  rhmpropd  14646  rnglidlmmgm  14917  rnglidlmsgrp  14918  cnfldexp  14998  expghmap  15026  lgseisenlem3  16357  lgseisenlem4  16358