Theorem mgpbasg 13688

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgpbas.2	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpbasg	|- ( R e. V -> B = ( Base ` M ) )

Proof of Theorem mgpbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		mulrslid 12964	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 12859	. . . 4 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
4		baseslid 12889	. . . . 5 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
5		basendxnplusgndx 12957	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )
6		plusgslid 12944	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
7	6	simpri 113	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
8	4, 5, 7	setsslnid 12884	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( .r ` R ) e. _V ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
9	3, 8	mpdan 421	. . 3 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
10		mgpbas.1	. . . . 5 |- M = (mulGrp ` R )
11		eqid 2205	. . . . 5 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
12	10, 11	mgpvalg 13685	. . . 4 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) )
13	12	fveq2d 5580	. . 3 |- ( R e. V -> ( Base ` M ) = ( Base ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
14	9, 13	eqtr4d 2241	. 2 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` M ) )
15	1, 14	eqtrid 2250	1 |- ( R e. V -> B = ( Base ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   <.cop 3636   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   NNcn 9036   ndxcnx 12829   sSet csts 12830  Slot cslot 12831   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   .rcmulr 12910  mulGrpcmgp 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-mgp 13683

This theorem is referenced by:  mgptopng  13691  mgpress  13693  rngass  13701  rngcl  13706  isrngd  13715  rngpropd  13717  dfur2g  13724  srgcl  13732  srgass  13733  srgideu  13734  srgidcl  13738  srgidmlem  13740  issrgid  13743  srg1zr  13749  srgpcomp  13752  srgpcompp  13753  srgpcomppsc  13754  ringcl  13775  crngcom  13776  iscrng2  13777  ringass  13778  ringideu  13779  ringidcl  13782  ringidmlem  13784  isringid  13787  ringidss  13791  ringpropd  13800  crngpropd  13801  isringd  13803  iscrngd  13804  ring1  13821  oppr1g  13844  unitgrpbasd  13877  unitsubm  13881  rngidpropdg  13908  dfrhm2  13916  rhmmul  13926  isrhm2d  13927  rhmf1o  13930  subrgsubm  13996  issubrg3  14009  rhmpropd  14016  rnglidlmmgm  14258  rnglidlmsgrp  14259  cnfldexp  14339  expghmap  14369  lgseisenlem3  15549  lgseisenlem4  15550