Theorem mgpbasg 14003

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgpbas.2	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpbasg	|- ( R e. V -> B = ( Base ` M ) )

Proof of Theorem mgpbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		mulrslid 13278	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 13172	. . . 4 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
4		baseslid 13203	. . . . 5 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
5		basendxnplusgndx 13271	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )
6		plusgslid 13258	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
7	6	simpri 113	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
8	4, 5, 7	setsslnid 13197	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( .r ` R ) e. _V ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
9	3, 8	mpdan 421	. . 3 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
10		mgpbas.1	. . . . 5 |- M = (mulGrp ` R )
11		eqid 2231	. . . . 5 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
12	10, 11	mgpvalg 14000	. . . 4 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) )
13	12	fveq2d 5652	. . 3 |- ( R e. V -> ( Base ` M ) = ( Base ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
14	9, 13	eqtr4d 2267	. 2 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` M ) )
15	1, 14	eqtrid 2276	1 |- ( R e. V -> B = ( Base ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   <.cop 3676   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   NNcn 9185   ndxcnx 13142   sSet csts 13143  Slot cslot 13144   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   .rcmulr 13224  mulGrpcmgp 13997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-mgp 13998

This theorem is referenced by:  mgptopng  14006  mgpress  14008  rngass  14016  rngcl  14021  isrngd  14030  rngpropd  14032  dfur2g  14039  srgcl  14047  srgass  14048  srgideu  14049  srgidcl  14053  srgidmlem  14055  issrgid  14058  srg1zr  14064  srgpcomp  14067  srgpcompp  14068  srgpcomppsc  14069  ringcl  14090  crngcom  14091  iscrng2  14092  ringass  14093  ringideu  14094  ringidcl  14097  ringidmlem  14099  isringid  14102  ringidss  14106  ringpropd  14115  crngpropd  14116  isringd  14118  iscrngd  14119  ring1  14136  oppr1g  14159  unitgrpbasd  14193  unitsubm  14197  rngidpropdg  14224  dfrhm2  14232  rhmmul  14242  isrhm2d  14243  rhmf1o  14246  subrgsubm  14312  issubrg3  14325  rhmpropd  14332  rnglidlmmgm  14575  rnglidlmsgrp  14576  cnfldexp  14656  expghmap  14686  lgseisenlem3  15874  lgseisenlem4  15875