Theorem mgpbasg 14273

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgpbas.2	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpbasg	|- ( R e. V -> B = ( Base ` M ) )

Proof of Theorem mgpbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		mulrslid 13535	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 13428	. . . 4 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
4		baseslid 13459	. . . . 5 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
5		basendxnplusgndx 13528	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )
6		plusgslid 13515	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
7	6	simpri 113	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
8	4, 5, 7	setsslnid 13453	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( .r ` R ) e. _V ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
9	3, 8	mpdan 425	. . 3 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
10		mgpbas.1	. . . . 5 |- M = (mulGrp ` R )
11		eqid 2238	. . . . 5 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
12	10, 11	mgpvalg 14269	. . . 4 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) )
13	12	fveq2d 5699	. . 3 |- ( R e. V -> ( Base ` M ) = ( Base ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
14	9, 13	eqtr4d 2274	. 2 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` M ) )
15	1, 14	eqtrid 2283	1 |- ( R e. V -> B = ( Base ` M ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3712   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   NNcn 9306   ndxcnx 13398   sSet csts 13399  Slot cslot 13400   Basecbs 13401   +g cplusg 13480   .rcmulr 13481  mulGrpcmgp 14266

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-sets 13408  df-plusg 13493  df-mulr 13494  df-mgp 14267

This theorem is used by:  mgpbas  14274  mgptopng  14277  mgpress  14279  rngass  14287  rngcl  14292  isrngd  14301  rngpropd  14303  rng1zrlem  14307  dfur2g  14315  srgcl  14323  srgass  14324  srgideu  14325  srgidcl  14329  srgidmlem  14331  issrgid  14334  srgpcomp  14343  srgpcompp  14344  srgpcomppsc  14345  ringcl  14366  crngcom  14367  iscrng2  14368  ringass  14369  ringideu  14370  ringidcl  14374  ringidmlem  14376  isringid  14379  ringidss  14383  ringpropd  14392  crngpropd  14393  isringd  14395  iscrngd  14396  ring1  14413  oppr1g  14437  unitgrpbasd  14471  unitsubm  14475  rngidpropdg  14502  dfrhm2  14510  rhmmul  14520  isrhm2d  14521  rhmf1o  14524  subrgsubm  14591  issubrg3  14604  rhmpropd  14611  rnglidlmmgm  14882  rnglidlmsgrp  14883  cnfldexp  14963  expghmap  14991  lgseisenlem3  16289  lgseisenlem4  16290