Theorem mgpbasg 13958

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgpbas.2	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpbasg	|- ( R e. V -> B = ( Base ` M ) )

Proof of Theorem mgpbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		mulrslid 13233	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 13127	. . . 4 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
4		baseslid 13158	. . . . 5 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
5		basendxnplusgndx 13226	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )
6		plusgslid 13213	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
7	6	simpri 113	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
8	4, 5, 7	setsslnid 13152	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( .r ` R ) e. _V ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
9	3, 8	mpdan 421	. . 3 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
10		mgpbas.1	. . . . 5 |- M = (mulGrp ` R )
11		eqid 2231	. . . . 5 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
12	10, 11	mgpvalg 13955	. . . 4 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) )
13	12	fveq2d 5643	. . 3 |- ( R e. V -> ( Base ` M ) = ( Base ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
14	9, 13	eqtr4d 2267	. 2 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) = ( Base ` M ) )
15	1, 14	eqtrid 2276	1 |- ( R e. V -> B = ( Base ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   <.cop 3672   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   NNcn 9143   ndxcnx 13097   sSet csts 13098  Slot cslot 13099   Basecbs 13100   +g cplusg 13178   .rcmulr 13179  mulGrpcmgp 13952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-mgp 13953

This theorem is referenced by:  mgptopng  13961  mgpress  13963  rngass  13971  rngcl  13976  isrngd  13985  rngpropd  13987  dfur2g  13994  srgcl  14002  srgass  14003  srgideu  14004  srgidcl  14008  srgidmlem  14010  issrgid  14013  srg1zr  14019  srgpcomp  14022  srgpcompp  14023  srgpcomppsc  14024  ringcl  14045  crngcom  14046  iscrng2  14047  ringass  14048  ringideu  14049  ringidcl  14052  ringidmlem  14054  isringid  14057  ringidss  14061  ringpropd  14070  crngpropd  14071  isringd  14073  iscrngd  14074  ring1  14091  oppr1g  14114  unitgrpbasd  14148  unitsubm  14152  rngidpropdg  14179  dfrhm2  14187  rhmmul  14197  isrhm2d  14198  rhmf1o  14201  subrgsubm  14267  issubrg3  14280  rhmpropd  14287  rnglidlmmgm  14529  rnglidlmsgrp  14530  cnfldexp  14610  expghmap  14640  lgseisenlem3  15820  lgseisenlem4  15821