Theorem unitgrpbasd 14345

Description: The base set of the group of units. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrpbasd.u	|- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
unitgrpbasd.g	|- ( ph -> G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
unitgrpbasd.r	|- ( ph -> R e. SRing )

Assertion

Ref	Expression
unitgrpbasd	|- ( ph -> U = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem unitgrpbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitgrpbasd.g	. 2 |- ( ph -> G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
2		unitgrpbasd.r	. . 3 |- ( ph -> R e. SRing )
3		eqid 2234	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
4		eqid 2234	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5	3, 4	mgpbasg 14154	. . 3 |- ( R e. SRing -> ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7	3	mgpex 14153	. . 3 |- ( R e. SRing -> (mulGrp ` R ) e. _V )
8	2, 7	syl 14	. 2 |- ( ph -> (mulGrp ` R ) e. _V )
9		eqidd 2235	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
10		unitgrpbasd.u	. . 3 |- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
11	9, 10, 2	unitssd 14339	. 2 |- ( ph -> U C_ ( Base ` R ) )
12	1, 6, 8, 11	ressbas2d 13365	1 |- ( ph -> U = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   ↾_s cress 13297  mulGrpcmgp 14148  SRingcsrg 14191  Unitcui 14316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-mgp 14149  df-srg 14192  df-dvdsr 14318  df-unit 14319

This theorem is referenced by:  unitgrp  14346  unitinvcl  14353  unitinvinv  14354  unitlinv  14356  unitrinv  14357  rdivmuldivd  14374  invrpropdg  14379  rhmunitinv  14408  subrgugrp  14471