Theorem unitgrpbasd 14128

Description: The base set of the group of units. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrpbasd.u	|- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
unitgrpbasd.g	|- ( ph -> G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
unitgrpbasd.r	|- ( ph -> R e. SRing )

Assertion

Ref	Expression
unitgrpbasd	|- ( ph -> U = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem unitgrpbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitgrpbasd.g	. 2 |- ( ph -> G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
2		unitgrpbasd.r	. . 3 |- ( ph -> R e. SRing )
3		eqid 2231	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
4		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5	3, 4	mgpbasg 13938	. . 3 |- ( R e. SRing -> ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7	3	mgpex 13937	. . 3 |- ( R e. SRing -> (mulGrp ` R ) e. _V )
8	2, 7	syl 14	. 2 |- ( ph -> (mulGrp ` R ) e. _V )
9		eqidd 2232	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
10		unitgrpbasd.u	. . 3 |- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
11	9, 10, 2	unitssd 14122	. 2 |- ( ph -> U C_ ( Base ` R ) )
12	1, 6, 8, 11	ressbas2d 13150	1 |- ( ph -> U = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   ↾_s cress 13082  mulGrpcmgp 13932  SRingcsrg 13975  Unitcui 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-mgp 13933  df-srg 13976  df-dvdsr 14101  df-unit 14102

This theorem is referenced by:  unitgrp  14129  unitinvcl  14136  unitinvinv  14137  unitlinv  14139  unitrinv  14140  rdivmuldivd  14157  invrpropdg  14162  rhmunitinv  14191  subrgugrp  14253