Theorem unitgrpbasd 14135

Description: The base set of the group of units. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrpbasd.u	|- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
unitgrpbasd.g	|- ( ph -> G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
unitgrpbasd.r	|- ( ph -> R e. SRing )

Assertion

Ref	Expression
unitgrpbasd	|- ( ph -> U = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem unitgrpbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitgrpbasd.g	. 2 |- ( ph -> G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
2		unitgrpbasd.r	. . 3 |- ( ph -> R e. SRing )
3		eqid 2231	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
4		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5	3, 4	mgpbasg 13945	. . 3 |- ( R e. SRing -> ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7	3	mgpex 13944	. . 3 |- ( R e. SRing -> (mulGrp ` R ) e. _V )
8	2, 7	syl 14	. 2 |- ( ph -> (mulGrp ` R ) e. _V )
9		eqidd 2232	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
10		unitgrpbasd.u	. . 3 |- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
11	9, 10, 2	unitssd 14129	. 2 |- ( ph -> U C_ ( Base ` R ) )
12	1, 6, 8, 11	ressbas2d 13156	1 |- ( ph -> U = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13087   ↾_s cress 13088  mulGrpcmgp 13939  SRingcsrg 13982  Unitcui 14106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-iress 13095  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-mgp 13940  df-srg 13983  df-dvdsr 14108  df-unit 14109

This theorem is referenced by:  unitgrp  14136  unitinvcl  14143  unitinvinv  14144  unitlinv  14146  unitrinv  14147  rdivmuldivd  14164  invrpropdg  14169  rhmunitinv  14198  subrgugrp  14260