Theorem unitgrpbasd 14424

Description: The base set of the group of units. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrpbasd.u	|- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
unitgrpbasd.g	|- ( ph -> G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
unitgrpbasd.r	|- ( ph -> R e. SRing )

Assertion

Ref	Expression
unitgrpbasd	|- ( ph -> U = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem unitgrpbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitgrpbasd.g	. 2 |- ( ph -> G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
2		unitgrpbasd.r	. . 3 |- ( ph -> R e. SRing )
3		eqid 2238	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
4		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5	3, 4	mgpbasg 14226	. . 3 |- ( R e. SRing -> ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7	3	mgpex 14225	. . 3 |- ( R e. SRing -> (mulGrp ` R ) e. _V )
8	2, 7	syl 14	. 2 |- ( ph -> (mulGrp ` R ) e. _V )
9		eqidd 2239	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
10		unitgrpbasd.u	. . 3 |- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
11	9, 10, 2	unitssd 14418	. 2 |- ( ph -> U C_ ( Base ` R ) )
12	1, 6, 8, 11	ressbas2d 13424	1 |- ( ph -> U = ( Base ` G ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13354   ↾_s cress 13355  mulGrpcmgp 14219  SRingcsrg 14269  Unitcui 14395

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-mgp 14220  df-srg 14270  df-dvdsr 14397  df-unit 14398

This theorem is used by:  unitgrp  14425  unitinvcl  14432  unitinvinv  14433  unitlinv  14435  unitrinv  14436  rdivmuldivd  14453  invrpropdg  14458  rhmunitinv  14487  subrgugrp  14550