Theorem mgpplusgg 14221

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgpval.2	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpplusgg	|- ( R e. V -> .x. = ( +g ` M ) )

Proof of Theorem mgpplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
2		mulrslid 13486	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 13379	. . . 4 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2325	. . 3 |- ( R e. V -> .x. e. _V )
5		plusgslid 13466	. . . 4 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
6	5	setsslid 13403	. . 3 |- ( ( R e. V /\ .x. e. _V ) -> .x. = ( +g ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) ) )
7	4, 6	mpdan 425	. 2 |- ( R e. V -> .x. = ( +g ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) ) )
8		mgpval.1	. . . 4 |- M = (mulGrp ` R )
9	8, 1	mgpvalg 14220	. . 3 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )
10	9	fveq2d 5699	. 2 |- ( R e. V -> ( +g ` M ) = ( +g ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) ) )
11	7, 10	eqtr4d 2274	1 |- ( R e. V -> .x. = ( +g ` M ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3712   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ndxcnx 13349   sSet csts 13350   +g cplusg 13431   .rcmulr 13432  mulGrpcmgp 14217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-mgp 14218

This theorem is used by:  mgpplusg  14222  rngass  14238  rngcl  14243  isrngd  14252  rngpropd  14254  rng1zrlem  14258  dfur2g  14266  srgcl  14274  srgass  14275  srgideu  14276  srgidmlem  14282  issrgid  14285  srgpcomp  14294  srgpcompp  14295  ringcl  14317  crngcom  14318  iscrng2  14319  ringass  14320  ringideu  14321  ringidmlem  14327  isringid  14330  ringidss  14334  ringpropd  14343  crngpropd  14344  isringd  14346  iscrngd  14347  ring1  14364  oppr1g  14388  unitgrp  14423  unitlinv  14433  unitrinv  14434  rdivmuldivd  14451  rngidpropdg  14453  invrpropdg  14456  dfrhm2  14461  rhmmul  14471  isrhm2d  14472  rhmunitinv  14485  subrgugrp  14548  issubrg3  14555  rhmpropd  14562  rnglidlmmgm  14833  rnglidlmsgrp  14834  cnfldexp  14914  expghmap  14942  lgseisenlem3  16191  lgseisenlem4  16192