Theorem mgpplusgg 14085

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgpval.2	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpplusgg	|- ( R e. V -> .x. = ( +g ` M ) )

Proof of Theorem mgpplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
2		mulrslid 13362	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 13256	. . . 4 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2321	. . 3 |- ( R e. V -> .x. e. _V )
5		plusgslid 13342	. . . 4 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
6	5	setsslid 13280	. . 3 |- ( ( R e. V /\ .x. e. _V ) -> .x. = ( +g ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) ) )
7	4, 6	mpdan 421	. 2 |- ( R e. V -> .x. = ( +g ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) ) )
8		mgpval.1	. . . 4 |- M = (mulGrp ` R )
9	8, 1	mgpvalg 14084	. . 3 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )
10	9	fveq2d 5676	. 2 |- ( R e. V -> ( +g ` M ) = ( +g ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) ) )
11	7, 10	eqtr4d 2270	1 |- ( R e. V -> .x. = ( +g ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   <.cop 3694   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   ndxcnx 13226   sSet csts 13227   +g cplusg 13307   .rcmulr 13308  mulGrpcmgp 14081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-sets 13236  df-plusg 13320  df-mulr 13321  df-mgp 14082

This theorem is referenced by:  rngass  14100  rngcl  14105  isrngd  14114  rngpropd  14116  dfur2g  14123  srgcl  14131  srgass  14132  srgideu  14133  srgidmlem  14139  issrgid  14142  srg1zr  14148  srgpcomp  14151  srgpcompp  14152  ringcl  14174  crngcom  14175  iscrng2  14176  ringass  14177  ringideu  14178  ringidmlem  14183  isringid  14186  ringidss  14190  ringpropd  14199  crngpropd  14200  isringd  14202  iscrngd  14203  ring1  14220  oppr1g  14243  unitgrp  14278  unitlinv  14288  unitrinv  14289  rdivmuldivd  14306  rngidpropdg  14308  invrpropdg  14311  dfrhm2  14316  rhmmul  14326  isrhm2d  14327  rhmunitinv  14340  subrgugrp  14402  issubrg3  14409  rhmpropd  14416  rnglidlmmgm  14661  rnglidlmsgrp  14662  cnfldexp  14742  expghmap  14772  lgseisenlem3  15962  lgseisenlem4  15963