Theorem mgpplusgg 13939

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgpval.2	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpplusgg	|- ( R e. V -> .x. = ( +g ` M ) )

Proof of Theorem mgpplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
2		mulrslid 13216	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 13110	. . . 4 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( R e. V -> .x. e. _V )
5		plusgslid 13196	. . . 4 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
6	5	setsslid 13134	. . 3 |- ( ( R e. V /\ .x. e. _V ) -> .x. = ( +g ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) ) )
7	4, 6	mpdan 421	. 2 |- ( R e. V -> .x. = ( +g ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) ) )
8		mgpval.1	. . . 4 |- M = (mulGrp ` R )
9	8, 1	mgpvalg 13938	. . 3 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )
10	9	fveq2d 5643	. 2 |- ( R e. V -> ( +g ` M ) = ( +g ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) ) )
11	7, 10	eqtr4d 2267	1 |- ( R e. V -> .x. = ( +g ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   <.cop 3672   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   ndxcnx 13080   sSet csts 13081   +g cplusg 13161   .rcmulr 13162  mulGrpcmgp 13935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13086  df-slot 13087  df-sets 13090  df-plusg 13174  df-mulr 13175  df-mgp 13936

This theorem is referenced by:  rngass  13954  rngcl  13959  isrngd  13968  rngpropd  13970  dfur2g  13977  srgcl  13985  srgass  13986  srgideu  13987  srgidmlem  13993  issrgid  13996  srg1zr  14002  srgpcomp  14005  srgpcompp  14006  ringcl  14028  crngcom  14029  iscrng2  14030  ringass  14031  ringideu  14032  ringidmlem  14037  isringid  14040  ringidss  14044  ringpropd  14053  crngpropd  14054  isringd  14056  iscrngd  14057  ring1  14074  oppr1g  14097  unitgrp  14132  unitlinv  14142  unitrinv  14143  rdivmuldivd  14160  rngidpropdg  14162  invrpropdg  14165  dfrhm2  14170  rhmmul  14180  isrhm2d  14181  rhmunitinv  14194  subrgugrp  14256  issubrg3  14263  rhmpropd  14270  rnglidlmmgm  14512  rnglidlmsgrp  14513  cnfldexp  14593  expghmap  14623  lgseisenlem3  15803  lgseisenlem4  15804