Theorem mgpplusgg 13959

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgpval.2	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpplusgg	|- ( R e. V -> .x. = ( +g ` M ) )

Proof of Theorem mgpplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
2		mulrslid 13236	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 13130	. . . 4 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( R e. V -> .x. e. _V )
5		plusgslid 13216	. . . 4 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
6	5	setsslid 13154	. . 3 |- ( ( R e. V /\ .x. e. _V ) -> .x. = ( +g ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) ) )
7	4, 6	mpdan 421	. 2 |- ( R e. V -> .x. = ( +g ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) ) )
8		mgpval.1	. . . 4 |- M = (mulGrp ` R )
9	8, 1	mgpvalg 13958	. . 3 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )
10	9	fveq2d 5644	. 2 |- ( R e. V -> ( +g ` M ) = ( +g ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) ) )
11	7, 10	eqtr4d 2267	1 |- ( R e. V -> .x. = ( +g ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   <.cop 3672   ` cfv 5326  (class class class)co 6021   ndxcnx 13100   sSet csts 13101   +g cplusg 13181   .rcmulr 13182  mulGrpcmgp 13955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1re 8129  ax-addrcl 8132

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-sets 13110  df-plusg 13194  df-mulr 13195  df-mgp 13956

This theorem is referenced by:  rngass  13974  rngcl  13979  isrngd  13988  rngpropd  13990  dfur2g  13997  srgcl  14005  srgass  14006  srgideu  14007  srgidmlem  14013  issrgid  14016  srg1zr  14022  srgpcomp  14025  srgpcompp  14026  ringcl  14048  crngcom  14049  iscrng2  14050  ringass  14051  ringideu  14052  ringidmlem  14057  isringid  14060  ringidss  14064  ringpropd  14073  crngpropd  14074  isringd  14076  iscrngd  14077  ring1  14094  oppr1g  14117  unitgrp  14152  unitlinv  14162  unitrinv  14163  rdivmuldivd  14180  rngidpropdg  14182  invrpropdg  14185  dfrhm2  14190  rhmmul  14200  isrhm2d  14201  rhmunitinv  14214  subrgugrp  14276  issubrg3  14283  rhmpropd  14290  rnglidlmmgm  14532  rnglidlmsgrp  14533  cnfldexp  14613  expghmap  14643  lgseisenlem3  15828  lgseisenlem4  15829