Theorem mgpplusgg 14201

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgpval.2	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpplusgg	|- ( R e. V -> .x. = ( +g ` M ) )

Proof of Theorem mgpplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
2		mulrslid 13466	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 13360	. . . 4 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
4	1, 3	eqeltrid 2325	. . 3 |- ( R e. V -> .x. e. _V )
5		plusgslid 13446	. . . 4 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
6	5	setsslid 13384	. . 3 |- ( ( R e. V /\ .x. e. _V ) -> .x. = ( +g ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) ) )
7	4, 6	mpdan 425	. 2 |- ( R e. V -> .x. = ( +g ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) ) )
8		mgpval.1	. . . 4 |- M = (mulGrp ` R )
9	8, 1	mgpvalg 14200	. . 3 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) )
10	9	fveq2d 5697	. 2 |- ( R e. V -> ( +g ` M ) = ( +g ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , .x. >. ) ) )
11	7, 10	eqtr4d 2274	1 |- ( R e. V -> .x. = ( +g ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3711   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   ndxcnx 13330   sSet csts 13331   +g cplusg 13411   .rcmulr 13412  mulGrpcmgp 14197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1re 8266  ax-addrcl 8269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-sets 13340  df-plusg 13424  df-mulr 13425  df-mgp 14198

This theorem is referenced by:  rngass  14216  rngcl  14221  isrngd  14230  rngpropd  14232  rng1zrlem  14236  dfur2g  14243  srgcl  14251  srgass  14252  srgideu  14253  srgidmlem  14259  issrgid  14262  srgpcomp  14271  srgpcompp  14272  ringcl  14294  crngcom  14295  iscrng2  14296  ringass  14297  ringideu  14298  ringidmlem  14303  isringid  14306  ringidss  14310  ringpropd  14319  crngpropd  14320  isringd  14322  iscrngd  14323  ring1  14340  oppr1g  14364  unitgrp  14399  unitlinv  14409  unitrinv  14410  rdivmuldivd  14427  rngidpropdg  14429  invrpropdg  14432  dfrhm2  14437  rhmmul  14447  isrhm2d  14448  rhmunitinv  14461  subrgugrp  14524  issubrg3  14531  rhmpropd  14538  rnglidlmmgm  14808  rnglidlmsgrp  14809  cnfldexp  14889  expghmap  14917  lgseisenlem3  16108  lgseisenlem4  16109