Theorem mgpex 13904

Description: Existence of the multiplication group. If 𝑅 is known to be a semiring, see srgmgp 13947. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpex	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)

Proof of Theorem mgpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2229	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3	1, 2	mgpvalg 13902	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
4		plusgslid 13161	. . . . 5 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
5	4	simpri 113	. . . 4 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (+g‘ndx) ∈ ℕ)
7		mulrslid 13181	. . . 4 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
8	7	slotex 13075	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
9		setsex 13080	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑅) ∈ V) → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
10	6, 8, 9	mpd3an23 1373	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
11	3, 10	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ⟨cop 3669  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℕcn 9121  ndxcnx 13045   sSet csts 13046  Slot cslot 13047  +_gcplusg 13126  ._rcmulr 13127  mulGrpcmgp 13899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-sets 13055  df-plusg 13139  df-mulr 13140  df-mgp 13900

This theorem is referenced by:  mgpress  13910  isrngd  13932  rngpropd  13934  ringidss  14008  oppr1g  14061  unitgrpbasd  14095  unitgrp  14096  unitlinv  14106  unitrinv  14107  rngidpropdg  14126  rhmunitinv  14158  rnglidlmmgm  14476  expghmap  14587