Theorem mgpex 14199

Description: Existence of the multiplication group. If 𝑅 is known to be a semiring, see srgmgp 14246. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpex	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)

Proof of Theorem mgpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3	1, 2	mgpvalg 14197	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
4		plusgslid 13443	. . . . 5 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
5	4	simpri 113	. . . 4 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (+g‘ndx) ∈ ℕ)
7		mulrslid 13463	. . . 4 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
8	7	slotex 13357	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
9		setsex 13362	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑅) ∈ V) → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
10	6, 8, 9	mpd3an23 1380	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
11	3, 10	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟨cop 3708  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℕcn 9283  ndxcnx 13327   sSet csts 13328  Slot cslot 13329  +_gcplusg 13408  ._rcmulr 13409  mulGrpcmgp 14194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-mgp 14195

This theorem is referenced by:  mgpress  14205  isrngd  14227  rngpropd  14229  ringidss  14307  oppr1g  14361  unitgrpbasd  14395  unitgrp  14396  unitlinv  14406  unitrinv  14407  rngidpropdg  14426  rhmunitinv  14458  rnglidlmmgm  14805  expghmap  14914