Theorem mgpex 14223

Description: Existence of the multiplication group. If 𝑅 is known to be a semiring, see srgmgp 14272. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpex	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)

Proof of Theorem mgpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3	1, 2	mgpvalg 14220	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
4		plusgslid 13466	. . . . 5 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
5	4	simpri 113	. . . 4 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (+g‘ndx) ∈ ℕ)
7		mulrslid 13486	. . . 4 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
8	7	slotex 13379	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
9		setsex 13384	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑅) ∈ V) → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
10	6, 8, 9	mpd3an23 1380	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
11	3, 10	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟨cop 3712  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℕcn 9304  ndxcnx 13349   sSet csts 13350  Slot cslot 13351  +_gcplusg 13431  ._rcmulr 13432  mulGrpcmgp 14217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-mgp 14218

This theorem is used by:  mgpress  14230  isrngd  14252  rngpropd  14254  ringidss  14334  oppr1g  14388  unitgrpbasd  14422  unitgrp  14423  unitlinv  14433  unitrinv  14434  rngidpropdg  14453  rhmunitinv  14485  rnglidlmmgm  14833  expghmap  14942