Theorem mgpex 13557

Description: Existence of the multiplication group. If 𝑅 is known to be a semiring, see srgmgp 13600. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpex	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)

Proof of Theorem mgpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2196	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3	1, 2	mgpvalg 13555	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
4		plusgslid 12815	. . . . 5 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
5	4	simpri 113	. . . 4 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (+g‘ndx) ∈ ℕ)
7		mulrslid 12834	. . . 4 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
8	7	slotex 12730	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
9		setsex 12735	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑅) ∈ V) → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
10	6, 8, 9	mpd3an23 1350	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
11	3, 10	eqeltrd 2273	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  ⟨cop 3626  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℕcn 9007  ndxcnx 12700   sSet csts 12701  Slot cslot 12702  +_gcplusg 12780  ._rcmulr 12781  mulGrpcmgp 13552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-mgp 13553

This theorem is referenced by:  mgpress  13563  isrngd  13585  rngpropd  13587  ringidss  13661  oppr1g  13714  unitgrpbasd  13747  unitgrp  13748  unitlinv  13758  unitrinv  13759  rngidpropdg  13778  rhmunitinv  13810  rnglidlmmgm  14128  expghmap  14239