Theorem mgpex 14069

Description: Existence of the multiplication group. If 𝑅 is known to be a semiring, see srgmgp 14112. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpex	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)

Proof of Theorem mgpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2232	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3	1, 2	mgpvalg 14067	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
4		plusgslid 13325	. . . . 5 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
5	4	simpri 113	. . . 4 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (+g‘ndx) ∈ ℕ)
7		mulrslid 13345	. . . 4 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
8	7	slotex 13239	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
9		setsex 13244	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑅) ∈ V) → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
10	6, 8, 9	mpd3an23 1376	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
11	3, 10	eqeltrd 2309	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  ⟨cop 3692  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℕcn 9237  ndxcnx 13209   sSet csts 13210  Slot cslot 13211  +_gcplusg 13290  ._rcmulr 13291  mulGrpcmgp 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-mgp 14065

This theorem is referenced by:  mgpress  14075  isrngd  14097  rngpropd  14099  ringidss  14173  oppr1g  14226  unitgrpbasd  14260  unitgrp  14261  unitlinv  14271  unitrinv  14272  rngidpropdg  14291  rhmunitinv  14323  rnglidlmmgm  14644  expghmap  14755