ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mgpex GIF version

Theorem mgpex 13088
Description: Existence of the multiplication group. If 𝑅 is known to be a semiring, see srgmgp 13104. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
mgpbas.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mgpex (𝑅𝑉𝑀 ∈ V)

Proof of Theorem mgpex
StepHypRef Expression
1 mgpbas.1 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2177 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
31, 2mgpvalg 13086 . 2 (𝑅𝑉𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
4 plusgslid 12565 . . . . 5 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
54simpri 113 . . . 4 (+g‘ndx) ∈ ℕ
65a1i 9 . . 3 (𝑅𝑉 → (+g‘ndx) ∈ ℕ)
7 mulrslid 12584 . . . 4 (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
87slotex 12483 . . 3 (𝑅𝑉 → (.r𝑅) ∈ V)
9 setsex 12488 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r𝑅) ∈ V) → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) ∈ V)
106, 8, 9mpd3an23 1339 . 2 (𝑅𝑉 → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) ∈ V)
113, 10eqeltrd 2254 1 (𝑅𝑉𝑀 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  cop 3595  cfv 5216  (class class class)co 5874  cn 8917  ndxcnx 12453   sSet csts 12454  Slot cslot 12455  +gcplusg 12530  .rcmulr 12531  mulGrpcmgp 13083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-sets 12463  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-mgp 13084
This theorem is referenced by:  mgpress  13094  ringidss  13165  oppr1g  13205  unitgrpbasd  13237  unitgrp  13238  unitlinv  13248  unitrinv  13249  rngidpropdg  13268
  Copyright terms: Public domain W3C validator