Theorem mgptsetg 13427

Description: Topology component of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgptsetg	|- ( R e. V -> (TopSet ` R ) = (TopSet ` M ) )

Proof of Theorem mgptsetg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrslid 12752	. . . 4 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
2	1	slotex 12648	. . 3 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
3		tsetslid 12808	. . . 4 |- (TopSet = Slot (TopSet ` ndx ) /\ (TopSet ` ndx ) e. NN )
4		tsetndxnplusgndx 12812	. . . 4 |- (TopSet ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )
5		plusgslid 12733	. . . . 5 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
6	5	simpri 113	. . . 4 |- ( +g ` ndx ) e. NN
7	3, 4, 6	setsslnid 12673	. . 3 |- ( ( R e. V /\ ( .r ` R ) e. _V ) -> (TopSet ` R ) = (TopSet ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
8	2, 7	mpdan 421	. 2 |- ( R e. V -> (TopSet ` R ) = (TopSet ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
9		mgpbas.1	. . . 4 |- M = (mulGrp ` R )
10		eqid 2193	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
11	9, 10	mgpvalg 13422	. . 3 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) )
12	11	fveq2d 5559	. 2 |- ( R e. V -> (TopSet ` M ) = (TopSet ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
13	8, 12	eqtr4d 2229	1 |- ( R e. V -> (TopSet ` R ) = (TopSet ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   <.cop 3622   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   NNcn 8984   ndxcnx 12618   sSet csts 12619  Slot cslot 12620   +g cplusg 12698   .rcmulr 12699  TopSetcts 12704  mulGrpcmgp 13419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-tset 12717  df-mgp 13420

This theorem is referenced by:  mgptopng  13428