Theorem mgptsetg 13960

Description: Topology component of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgptsetg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑀))

Proof of Theorem mgptsetg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrslid 13233	. . . 4 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	slotex 13127	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
3		tsetslid 13289	. . . 4 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
4		tsetndxnplusgndx 13293	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5		plusgslid 13213	. . . . 5 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	simpri 113	. . . 4 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
7	3, 4, 6	setsslnid 13152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (.r‘𝑅) ∈ V) → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
8	2, 7	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
9		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
10		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	9, 10	mgpvalg 13955	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
12	11	fveq2d 5643	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑀) = (TopSet‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
13	8, 12	eqtr4d 2267	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  ⟨cop 3672  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℕcn 9143  ndxcnx 13097   sSet csts 13098  Slot cslot 13099  +_gcplusg 13178  ._rcmulr 13179  TopSetcts 13184  mulGrpcmgp 13952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-sets 13107  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-tset 13197  df-mgp 13953

This theorem is referenced by:  mgptopng  13961