Theorem mgptsetg 13424

Description: Topology component of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgptsetg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑀))

Proof of Theorem mgptsetg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrslid 12749	. . . 4 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	slotex 12645	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
3		tsetslid 12805	. . . 4 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
4		tsetndxnplusgndx 12809	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5		plusgslid 12730	. . . . 5 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	simpri 113	. . . 4 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
7	3, 4, 6	setsslnid 12670	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (.r‘𝑅) ∈ V) → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
8	2, 7	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
9		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
10		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	9, 10	mgpvalg 13419	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
12	11	fveq2d 5558	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑀) = (TopSet‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
13	8, 12	eqtr4d 2229	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ⟨cop 3621  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℕcn 8982  ndxcnx 12615   sSet csts 12616  Slot cslot 12617  +_gcplusg 12695  ._rcmulr 12696  TopSetcts 12701  mulGrpcmgp 13416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-tset 12714  df-mgp 13417

This theorem is referenced by:  mgptopng  13425