Theorem mgpscag 14333

Description: The multiplication monoid has the same (if any) scalars as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	|- M = (mulGrp ` R )
mgpsca.s	|- S = (Scalar ` R )

Assertion

Ref	Expression
mgpscag	|- ( R e. V -> S = (Scalar ` M ) )

Proof of Theorem mgpscag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpsca.s	. 2 |- S = (Scalar ` R )
2		mulrslid 13545	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 13437	. . . 4 |- ( R e. V -> ( .r ` R ) e. _V )
4		scaslid 13566	. . . . 5 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
5		scandxnplusgndx 13568	. . . . 5 |- (Scalar ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )
6		plusgslid 13525	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
7	6	simpri 113	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
8	4, 5, 7	setsslnid 13462	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( .r ` R ) e. _V ) -> (Scalar ` R ) = (Scalar ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
9	3, 8	mpdan 425	. . 3 |- ( R e. V -> (Scalar ` R ) = (Scalar ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
10		mgpbas.1	. . . . 5 |- M = (mulGrp ` R )
11		eqid 2238	. . . . 5 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
12	10, 11	mgpvalg 14327	. . . 4 |- ( R e. V -> M = ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) )
13	12	fveq2d 5702	. . 3 |- ( R e. V -> (Scalar ` M ) = (Scalar ` ( R sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` R ) >. ) ) )
14	9, 13	eqtr4d 2274	. 2 |- ( R e. V -> (Scalar ` R ) = (Scalar ` M ) )
15	1, 14	eqtrid 2283	1 |- ( R e. V -> S = (Scalar ` M ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3712   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   NNcn 9313   ndxcnx 13407   sSet csts 13408  Slot cslot 13409   +g cplusg 13490   .rcmulr 13491  Scalarcsca 13493  mulGrpcmgp 14324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-mgp 14325

This theorem is used by: (None)