Theorem nnwofdc 12041

Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable set of positive integers has a least element. This version allows x and y to be present in A as long as they are effectively not free. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnwof.1	|- F/_ x A
nnwof.2	|- F/_ y A

Assertion

Ref	Expression
nnwofdc	|- ( ( A C_ NN /\ E. z z e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

Distinct variable groups:   A, j, z   x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)

Proof of Theorem nnwofdc

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnwodc 12039	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ E. z z e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> E. w e. A A. v e. A w <_ v )
2		nfcv 2319	. . 3 |- F/_ w A
3		nnwof.1	. . 3 |- F/_ x A
4		nfv 1528	. . . 4 |- F/ x w <_ v
5	3, 4	nfralw 2514	. . 3 |- F/ x A. v e. A w <_ v
6		nfv 1528	. . 3 |- F/ w A. y e. A x <_ y
7		breq1 4008	. . . . 5 |- ( w = x -> ( w <_ v <-> x <_ v ) )
8	7	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( w = x -> ( A. v e. A w <_ v <-> A. v e. A x <_ v ) )
9		nfcv 2319	. . . . 5 |- F/_ v A
10		nnwof.2	. . . . 5 |- F/_ y A
11		nfv 1528	. . . . 5 |- F/ y x <_ v
12		nfv 1528	. . . . 5 |- F/ v x <_ y
13		breq2 4009	. . . . 5 |- ( v = y -> ( x <_ v <-> x <_ y ) )
14	9, 10, 11, 12, 13	cbvralfw 2695	. . . 4 |- ( A. v e. A x <_ v <-> A. y e. A x <_ y )
15	8, 14	bitrdi 196	. . 3 |- ( w = x -> ( A. v e. A w <_ v <-> A. y e. A x <_ y ) )
16	2, 3, 5, 6, 15	cbvrexfw 2696	. 2 |- ( E. w e. A A. v e. A w <_ v <-> E. x e. A A. y e. A x <_ y )
17	1, 16	sylib 122	1 |- ( ( A C_ NN /\ E. z z e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 834   /\ w3a 978   E.wex 1492   e. wcel 2148   F/_wnfc 2306   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3131   class class class wbr 4005   <_ cle 7995   NNcn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-fzo 10145

This theorem is referenced by:  nnwosdc  12042