Theorem nnwofdc 12840

Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable set of positive integers has a least element. This version allows x and y to be present in A as long as they are effectively not free. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnwof.1	|- F/_ x A
nnwof.2	|- F/_ y A

Assertion

Ref	Expression
nnwofdc	|- ( ( A C_ NN /\ E. z z e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

Distinct variable groups:   A, j, z   x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)

Proof of Theorem nnwofdc

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnwodc 12838	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ E. z z e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> E. w e. A A. v e. A w <_ v )
2		nfcv 2392	. . 3 |- F/_ w A
3		nnwof.1	. . 3 |- F/_ x A
4		nfv 1581	. . . 4 |- F/ x w <_ v
5	3, 4	nfralw 2587	. . 3 |- F/ x A. v e. A w <_ v
6		nfv 1581	. . 3 |- F/ w A. y e. A x <_ y
7		breq1 4134	. . . . 5 |- ( w = x -> ( w <_ v <-> x <_ v ) )
8	7	ralbidv 2550	. . . 4 |- ( w = x -> ( A. v e. A w <_ v <-> A. v e. A x <_ v ) )
9		nfcv 2392	. . . . 5 |- F/_ v A
10		nnwof.2	. . . . 5 |- F/_ y A
11		nfv 1581	. . . . 5 |- F/ y x <_ v
12		nfv 1581	. . . . 5 |- F/ v x <_ y
13		breq2 4135	. . . . 5 |- ( v = y -> ( x <_ v <-> x <_ y ) )
14	9, 10, 11, 12, 13	cbvralfw 2775	. . . 4 |- ( A. v e. A x <_ v <-> A. y e. A x <_ y )
15	8, 14	bitrdi 196	. . 3 |- ( w = x -> ( A. v e. A w <_ v <-> A. y e. A x <_ y ) )
16	2, 3, 5, 6, 15	cbvrexfw 2776	. 2 |- ( E. w e. A A. v e. A w <_ v <-> E. x e. A A. y e. A x <_ y )
17	1, 16	sylib 122	1 |- ( ( A C_ NN /\ E. z z e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   E.wex 1545   e. wcel 2209   F/_wnfc 2379   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   class class class wbr 4131   <_ cle 8367   NNcn 9313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567

This theorem is used by:  nnwosdc  12841