Theorem nnwofdc 12175

Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable set of positive integers has a least element. This version allows x and y to be present in A as long as they are effectively not free. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnwof.1	|- F/_ x A
nnwof.2	|- F/_ y A

Assertion

Ref	Expression
nnwofdc	|- ( ( A C_ NN /\ E. z z e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

Distinct variable groups:   A, j, z   x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)

Proof of Theorem nnwofdc

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnwodc 12173	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ E. z z e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> E. w e. A A. v e. A w <_ v )
2		nfcv 2336	. . 3 |- F/_ w A
3		nnwof.1	. . 3 |- F/_ x A
4		nfv 1539	. . . 4 |- F/ x w <_ v
5	3, 4	nfralw 2531	. . 3 |- F/ x A. v e. A w <_ v
6		nfv 1539	. . 3 |- F/ w A. y e. A x <_ y
7		breq1 4032	. . . . 5 |- ( w = x -> ( w <_ v <-> x <_ v ) )
8	7	ralbidv 2494	. . . 4 |- ( w = x -> ( A. v e. A w <_ v <-> A. v e. A x <_ v ) )
9		nfcv 2336	. . . . 5 |- F/_ v A
10		nnwof.2	. . . . 5 |- F/_ y A
11		nfv 1539	. . . . 5 |- F/ y x <_ v
12		nfv 1539	. . . . 5 |- F/ v x <_ y
13		breq2 4033	. . . . 5 |- ( v = y -> ( x <_ v <-> x <_ y ) )
14	9, 10, 11, 12, 13	cbvralfw 2716	. . . 4 |- ( A. v e. A x <_ v <-> A. y e. A x <_ y )
15	8, 14	bitrdi 196	. . 3 |- ( w = x -> ( A. v e. A w <_ v <-> A. y e. A x <_ y ) )
16	2, 3, 5, 6, 15	cbvrexfw 2717	. 2 |- ( E. w e. A A. v e. A w <_ v <-> E. x e. A A. y e. A x <_ y )
17	1, 16	sylib 122	1 |- ( ( A C_ NN /\ E. z z e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 835   /\ w3a 980   E.wex 1503   e. wcel 2164   F/_wnfc 2323   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   <_ cle 8055   NNcn 8982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209

This theorem is referenced by:  nnwosdc  12176