Theorem nnwosdc 12609

Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable set of positive integers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnwos.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
nnwosdc	|- ( ( E. x e. NN ph /\ A. x e. NN DECID ph ) -> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem nnwosdc

Dummy variables j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabn0m 3522	. . . . 5 |- ( E. w w e. { x e. NN | ph } <-> E. x e. NN ph )
2		ssrab2 3312	. . . . . 6 |- { x e. NN | ph } C_ NN
3	2	biantrur 303	. . . . 5 |- ( E. w w e. { x e. NN | ph } <-> ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } ) )
4	1, 3	sylbb1 137	. . . 4 |- ( E. x e. NN ph -> ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } ) )
5		animorrl 833	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. NN DECID ph /\ j e. NN ) -> ( j e. NN \/ -. j e. NN ) )
6		df-dc 842	. . . . . . . 8 |- (DECID j e. NN <-> ( j e. NN \/ -. j e. NN ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. NN DECID ph /\ j e. NN ) -> DECID j e. NN )
8		nfs1v 1992	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [ j / x ] ph
9	8	nfdc 1707	. . . . . . . . 9 |- F/ xDECID [ j / x ] ph
10		sbequ12 1819	. . . . . . . . . 10 |- ( x = j -> ( ph <-> [ j / x ] ph ) )
11	10	dcbid 845	. . . . . . . . 9 |- ( x = j -> (DECID ph <-> DECID [ j / x ] ph ) )
12	9, 11	rspc 2904	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( A. x e. NN DECID ph -> DECID [ j / x ] ph ) )
13	12	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. NN DECID ph /\ j e. NN ) -> DECID [ j / x ] ph )
14	7, 13	dcand 940	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. NN DECID ph /\ j e. NN ) -> DECID ( j e. NN /\ [ j / x ] ph ) )
15		nfcv 2374	. . . . . . . 8 |- F/_ x j
16		nfcv 2374	. . . . . . . 8 |- F/_ x NN
17	15, 16, 8, 10	elrabf 2960	. . . . . . 7 |- ( j e. { x e. NN | ph } <-> ( j e. NN /\ [ j / x ] ph ) )
18	17	dcbii 847	. . . . . 6 |- (DECID j e. { x e. NN | ph } <-> DECID ( j e. NN /\ [ j / x ] ph ) )
19	14, 18	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( A. x e. NN DECID ph /\ j e. NN ) -> DECID j e. { x e. NN | ph } )
20	19	ralrimiva 2605	. . . 4 |- ( A. x e. NN DECID ph -> A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } )
21	4, 20	anim12i 338	. . 3 |- ( ( E. x e. NN ph /\ A. x e. NN DECID ph ) -> ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } ) /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) )
22		df-3an 1006	. . 3 |- ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) <-> ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } ) /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) )
23	21, 22	sylibr 134	. 2 |- ( ( E. x e. NN ph /\ A. x e. NN DECID ph ) -> ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) )
24		nfrab1 2713	. . . 4 |- F/_ x { x e. NN | ph }
25		nfcv 2374	. . . 4 |- F/_ y { x e. NN | ph }
26	24, 25	nnwofdc 12608	. . 3 |- ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) -> E. x e. { x e. NN | ph } A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y )
27		df-rex 2516	. . . 4 |- ( E. x e. { x e. NN | ph } A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> E. x ( x e. { x e. NN | ph } /\ A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y ) )
28		rabid 2709	. . . . . 6 |- ( x e. { x e. NN | ph } <-> ( x e. NN /\ ph ) )
29		df-ral 2515	. . . . . . 7 |- ( A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> A. y ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) )
30		nnwos.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
31	30, 30, 30	3bitr2d 216	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
32	31	elrab 2962	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. NN | ph } <-> ( y e. NN /\ ps ) )
33	32	imbi1i 238	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) <-> ( ( y e. NN /\ ps ) -> x <_ y ) )
34		impexp 263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN /\ ps ) -> x <_ y ) <-> ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
35	33, 34	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) <-> ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
36	35	albii 1518	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) <-> A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
37	29, 36	bitri 184	. . . . . 6 |- ( A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
38	28, 37	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( x e. { x e. NN | ph } /\ A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y ) <-> ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) )
39	38	exbii 1653	. . . 4 |- ( E. x ( x e. { x e. NN | ph } /\ A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y ) <-> E. x ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) )
40		df-ral 2515	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) <-> A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
41	40	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) <-> ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) )
42		anass 401	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) <-> ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
43	41, 42	bitr3i 186	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) <-> ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
44	43	exbii 1653	. . . . 5 |- ( E. x ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) <-> E. x ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
45		df-rex 2516	. . . . 5 |- ( E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) <-> E. x ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
46	44, 45	bitr4i 187	. . . 4 |- ( E. x ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) <-> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )
47	27, 39, 46	3bitri 206	. . 3 |- ( E. x e. { x e. NN | ph } A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )
48	26, 47	sylib 122	. 2 |- ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) -> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )
49	23, 48	syl 14	1 |- ( ( E. x e. NN ph /\ A. x e. NN DECID ph ) -> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   A.wal 1395   E.wex 1540   [wsb 1810   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   {crab 2514   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   <_ cle 8214   NNcn 9142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377

This theorem is referenced by:  infpnlem2  12932