Theorem nnwosdc 12673

Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable set of positive integers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnwos.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
nnwosdc	|- ( ( E. x e. NN ph /\ A. x e. NN DECID ph ) -> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem nnwosdc

Dummy variables j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabn0m 3524	. . . . 5 |- ( E. w w e. { x e. NN | ph } <-> E. x e. NN ph )
2		ssrab2 3313	. . . . . 6 |- { x e. NN | ph } C_ NN
3	2	biantrur 303	. . . . 5 |- ( E. w w e. { x e. NN | ph } <-> ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } ) )
4	1, 3	sylbb1 137	. . . 4 |- ( E. x e. NN ph -> ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } ) )
5		animorrl 834	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. NN DECID ph /\ j e. NN ) -> ( j e. NN \/ -. j e. NN ) )
6		df-dc 843	. . . . . . . 8 |- (DECID j e. NN <-> ( j e. NN \/ -. j e. NN ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. NN DECID ph /\ j e. NN ) -> DECID j e. NN )
8		nfs1v 1992	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [ j / x ] ph
9	8	nfdc 1707	. . . . . . . . 9 |- F/ xDECID [ j / x ] ph
10		sbequ12 1819	. . . . . . . . . 10 |- ( x = j -> ( ph <-> [ j / x ] ph ) )
11	10	dcbid 846	. . . . . . . . 9 |- ( x = j -> (DECID ph <-> DECID [ j / x ] ph ) )
12	9, 11	rspc 2905	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( A. x e. NN DECID ph -> DECID [ j / x ] ph ) )
13	12	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. NN DECID ph /\ j e. NN ) -> DECID [ j / x ] ph )
14	7, 13	dcand 941	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. NN DECID ph /\ j e. NN ) -> DECID ( j e. NN /\ [ j / x ] ph ) )
15		nfcv 2375	. . . . . . . 8 |- F/_ x j
16		nfcv 2375	. . . . . . . 8 |- F/_ x NN
17	15, 16, 8, 10	elrabf 2961	. . . . . . 7 |- ( j e. { x e. NN | ph } <-> ( j e. NN /\ [ j / x ] ph ) )
18	17	dcbii 848	. . . . . 6 |- (DECID j e. { x e. NN | ph } <-> DECID ( j e. NN /\ [ j / x ] ph ) )
19	14, 18	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( A. x e. NN DECID ph /\ j e. NN ) -> DECID j e. { x e. NN | ph } )
20	19	ralrimiva 2606	. . . 4 |- ( A. x e. NN DECID ph -> A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } )
21	4, 20	anim12i 338	. . 3 |- ( ( E. x e. NN ph /\ A. x e. NN DECID ph ) -> ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } ) /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) )
22		df-3an 1007	. . 3 |- ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) <-> ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } ) /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) )
23	21, 22	sylibr 134	. 2 |- ( ( E. x e. NN ph /\ A. x e. NN DECID ph ) -> ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) )
24		nfrab1 2714	. . . 4 |- F/_ x { x e. NN | ph }
25		nfcv 2375	. . . 4 |- F/_ y { x e. NN | ph }
26	24, 25	nnwofdc 12672	. . 3 |- ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) -> E. x e. { x e. NN | ph } A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y )
27		df-rex 2517	. . . 4 |- ( E. x e. { x e. NN | ph } A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> E. x ( x e. { x e. NN | ph } /\ A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y ) )
28		rabid 2710	. . . . . 6 |- ( x e. { x e. NN | ph } <-> ( x e. NN /\ ph ) )
29		df-ral 2516	. . . . . . 7 |- ( A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> A. y ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) )
30		nnwos.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
31	30, 30, 30	3bitr2d 216	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
32	31	elrab 2963	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. NN | ph } <-> ( y e. NN /\ ps ) )
33	32	imbi1i 238	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) <-> ( ( y e. NN /\ ps ) -> x <_ y ) )
34		impexp 263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN /\ ps ) -> x <_ y ) <-> ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
35	33, 34	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) <-> ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
36	35	albii 1519	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) <-> A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
37	29, 36	bitri 184	. . . . . 6 |- ( A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
38	28, 37	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( x e. { x e. NN | ph } /\ A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y ) <-> ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) )
39	38	exbii 1654	. . . 4 |- ( E. x ( x e. { x e. NN | ph } /\ A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y ) <-> E. x ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) )
40		df-ral 2516	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) <-> A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
41	40	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) <-> ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) )
42		anass 401	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) <-> ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
43	41, 42	bitr3i 186	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) <-> ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
44	43	exbii 1654	. . . . 5 |- ( E. x ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) <-> E. x ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
45		df-rex 2517	. . . . 5 |- ( E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) <-> E. x ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
46	44, 45	bitr4i 187	. . . 4 |- ( E. x ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) <-> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )
47	27, 39, 46	3bitri 206	. . 3 |- ( E. x e. { x e. NN | ph } A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )
48	26, 47	sylib 122	. 2 |- ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) -> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )
49	23, 48	syl 14	1 |- ( ( E. x e. NN ph /\ A. x e. NN DECID ph ) -> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   A.wal 1396   E.wex 1541   [wsb 1810   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   {crab 2515   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   <_ cle 8257   NNcn 9185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423

This theorem is referenced by:  infpnlem2  12996