Theorem nnwosdc 12023

Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable set of positive integers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnwos.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
nnwosdc	|- ( ( E. x e. NN ph /\ A. x e. NN DECID ph ) -> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem nnwosdc

Dummy variables j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabn0m 3450	. . . . 5 |- ( E. w w e. { x e. NN | ph } <-> E. x e. NN ph )
2		ssrab2 3240	. . . . . 6 |- { x e. NN | ph } C_ NN
3	2	biantrur 303	. . . . 5 |- ( E. w w e. { x e. NN | ph } <-> ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } ) )
4	1, 3	sylbb1 137	. . . 4 |- ( E. x e. NN ph -> ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } ) )
5		animorrl 826	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. NN DECID ph /\ j e. NN ) -> ( j e. NN \/ -. j e. NN ) )
6		df-dc 835	. . . . . . . 8 |- (DECID j e. NN <-> ( j e. NN \/ -. j e. NN ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. NN DECID ph /\ j e. NN ) -> DECID j e. NN )
8		nfs1v 1939	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [ j / x ] ph
9	8	nfdc 1659	. . . . . . . . 9 |- F/ xDECID [ j / x ] ph
10		sbequ12 1771	. . . . . . . . . 10 |- ( x = j -> ( ph <-> [ j / x ] ph ) )
11	10	dcbid 838	. . . . . . . . 9 |- ( x = j -> (DECID ph <-> DECID [ j / x ] ph ) )
12	9, 11	rspc 2835	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( A. x e. NN DECID ph -> DECID [ j / x ] ph ) )
13	12	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. NN DECID ph /\ j e. NN ) -> DECID [ j / x ] ph )
14		dcan2 934	. . . . . . 7 |- (DECID j e. NN -> (DECID [ j / x ] ph -> DECID ( j e. NN /\ [ j / x ] ph ) ) )
15	7, 13, 14	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. NN DECID ph /\ j e. NN ) -> DECID ( j e. NN /\ [ j / x ] ph ) )
16		nfcv 2319	. . . . . . . 8 |- F/_ x j
17		nfcv 2319	. . . . . . . 8 |- F/_ x NN
18	16, 17, 8, 10	elrabf 2891	. . . . . . 7 |- ( j e. { x e. NN | ph } <-> ( j e. NN /\ [ j / x ] ph ) )
19	18	dcbii 840	. . . . . 6 |- (DECID j e. { x e. NN | ph } <-> DECID ( j e. NN /\ [ j / x ] ph ) )
20	15, 19	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( A. x e. NN DECID ph /\ j e. NN ) -> DECID j e. { x e. NN | ph } )
21	20	ralrimiva 2550	. . . 4 |- ( A. x e. NN DECID ph -> A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } )
22	4, 21	anim12i 338	. . 3 |- ( ( E. x e. NN ph /\ A. x e. NN DECID ph ) -> ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } ) /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) )
23		df-3an 980	. . 3 |- ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) <-> ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } ) /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) )
24	22, 23	sylibr 134	. 2 |- ( ( E. x e. NN ph /\ A. x e. NN DECID ph ) -> ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) )
25		nfrab1 2656	. . . 4 |- F/_ x { x e. NN | ph }
26		nfcv 2319	. . . 4 |- F/_ y { x e. NN | ph }
27	25, 26	nnwofdc 12022	. . 3 |- ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) -> E. x e. { x e. NN | ph } A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y )
28		df-rex 2461	. . . 4 |- ( E. x e. { x e. NN | ph } A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> E. x ( x e. { x e. NN | ph } /\ A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y ) )
29		rabid 2652	. . . . . 6 |- ( x e. { x e. NN | ph } <-> ( x e. NN /\ ph ) )
30		df-ral 2460	. . . . . . 7 |- ( A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> A. y ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) )
31		nnwos.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
32	31	elrab 2893	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. NN | ph } <-> ( y e. NN /\ ps ) )
33	32	imbi1i 238	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) <-> ( ( y e. NN /\ ps ) -> x <_ y ) )
34		impexp 263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. NN /\ ps ) -> x <_ y ) <-> ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
35	33, 34	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) <-> ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
36	35	albii 1470	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) <-> A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
37	30, 36	bitri 184	. . . . . 6 |- ( A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
38	29, 37	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( x e. { x e. NN | ph } /\ A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y ) <-> ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) )
39	38	exbii 1605	. . . 4 |- ( E. x ( x e. { x e. NN | ph } /\ A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y ) <-> E. x ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) )
40		df-ral 2460	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) <-> A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
41	40	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) <-> ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) )
42		anass 401	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) <-> ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
43	41, 42	bitr3i 186	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) <-> ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
44	43	exbii 1605	. . . . 5 |- ( E. x ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) <-> E. x ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
45		df-rex 2461	. . . . 5 |- ( E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) <-> E. x ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
46	44, 45	bitr4i 187	. . . 4 |- ( E. x ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) <-> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )
47	28, 39, 46	3bitri 206	. . 3 |- ( E. x e. { x e. NN | ph } A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )
48	27, 47	sylib 122	. 2 |- ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ E. w w e. { x e. NN | ph } /\ A. j e. NN DECID j e. { x e. NN | ph } ) -> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )
49	24, 48	syl 14	1 |- ( ( E. x e. NN ph /\ A. x e. NN DECID ph ) -> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   A.wal 1351   E.wex 1492   [wsb 1762   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   C_ wss 3129   class class class wbr 4000   <_ cle 7983   NNcn 8908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-fzo 10129

This theorem is referenced by:  infpnlem2  12341