Theorem nnwodc 11965

Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable set of positive integers has a least element. Theorem I.37 (well-ordering principle) of [Apostol] p. 34. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnwodc	|- ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

Distinct variable groups:   A, j, w, y   x, A, y

Proof of Theorem nnwodc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmindc 11963	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. j e. NN DECID j e. A /\ E. w w e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
2	1	3com23 1199	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
3		simpl1 990	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) /\ y e. A ) -> A C_ NN )
4		simpl3 992	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) /\ y e. A ) -> A. j e. NN DECID j e. A )
5		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
6		nnminle 11964	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. j e. NN DECID j e. A /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ y )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ y )
8	7	ralrimiva 2538	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y )
9		breq1 3984	. . . 4 |- ( x = inf ( A , RR , < ) -> ( x <_ y <-> inf ( A , RR , < ) <_ y ) )
10	9	ralbidv 2465	. . 3 |- ( x = inf ( A , RR , < ) -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y ) )
11	10	rspcev 2829	. 2 |- ( (inf ( A , RR , < ) e. A /\ A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )
12	2, 8, 11	syl2anc 409	1 |- ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 824   /\ w3a 968   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2443   E.wrex 2444   C_ wss 3115   class class class wbr 3981  infcinf 6944   RRcr 7748   < clt 7929   <_ cle 7930   NNcn 8853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-fzo 10074

This theorem is referenced by:  uzwodc  11966  nnwofdc  11967