Theorem nnwodc 11980

Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable set of positive integers has a least element. Theorem I.37 (well-ordering principle) of [Apostol] p. 34. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnwodc	|- ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

Distinct variable groups:   A, j, w, y   x, A, y

Proof of Theorem nnwodc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmindc 11978	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. j e. NN DECID j e. A /\ E. w w e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
2	1	3com23 1204	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
3		simpl1 995	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) /\ y e. A ) -> A C_ NN )
4		simpl3 997	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) /\ y e. A ) -> A. j e. NN DECID j e. A )
5		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
6		nnminle 11979	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. j e. NN DECID j e. A /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ y )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1233	. . 3 |- ( ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ y )
8	7	ralrimiva 2543	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y )
9		breq1 3990	. . . 4 |- ( x = inf ( A , RR , < ) -> ( x <_ y <-> inf ( A , RR , < ) <_ y ) )
10	9	ralbidv 2470	. . 3 |- ( x = inf ( A , RR , < ) -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y ) )
11	10	rspcev 2834	. 2 |- ( (inf ( A , RR , < ) e. A /\ A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )
12	2, 8, 11	syl2anc 409	1 |- ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3987  infcinf 6957   RRcr 7762   < clt 7943   <_ cle 7944   NNcn 8867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-addass 7865  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-sup 6958  df-inf 6959  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-inn 8868  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-fz 9955  df-fzo 10088

This theorem is referenced by:  uzwodc  11981  nnwofdc  11982