Theorem nnwodc 12176

Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable set of positive integers has a least element. Theorem I.37 (well-ordering principle) of [Apostol] p. 34. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnwodc	|- ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

Distinct variable groups:   A, j, w, y   x, A, y

Proof of Theorem nnwodc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmindc 12174	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. j e. NN DECID j e. A /\ E. w w e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
2	1	3com23 1211	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
3		simpl1 1002	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) /\ y e. A ) -> A C_ NN )
4		simpl3 1004	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) /\ y e. A ) -> A. j e. NN DECID j e. A )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
6		nnminle 12175	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. j e. NN DECID j e. A /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ y )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ y )
8	7	ralrimiva 2567	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y )
9		breq1 4033	. . . 4 |- ( x = inf ( A , RR , < ) -> ( x <_ y <-> inf ( A , RR , < ) <_ y ) )
10	9	ralbidv 2494	. . 3 |- ( x = inf ( A , RR , < ) -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y ) )
11	10	rspcev 2865	. 2 |- ( (inf ( A , RR , < ) e. A /\ A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )
12	2, 8, 11	syl2anc 411	1 |- ( ( A C_ NN /\ E. w w e. A /\ A. j e. NN DECID j e. A ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3154   class class class wbr 4030  infcinf 7044   RRcr 7873   < clt 8056   <_ cle 8057   NNcn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212

This theorem is referenced by:  uzwodc  12177  nnwofdc  12178