Theorem nqprloc 7605

Description: A cut produced from a rational is located. Lemma for nqprlu 7607. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprloc	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqtri3or 7456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞))
2	1	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞))
3	2	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞))
4		vex 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑞 ∈ V
5		breq1 4032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑞 <Q 𝐴))
6	4, 5	elab 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
7	6	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 <Q 𝐴 → 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
8	7	orcd 734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
9	8	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
10		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → 𝑞 <Q 𝑟)
11		breq1 4032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
12	10, 11	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴 → 𝐴 <Q 𝑟))
13		vex 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑟 ∈ V
14		breq2 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
15	13, 14	elab 2904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
16		olc 712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
17	15, 16	sylbir 135	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
18	12, 17	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
19		ltsonq 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q Or Q
20		ltrelnq 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
21	19, 20	sotri 5061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → 𝐴 <Q 𝑟)
22	21, 17	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
23	22	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
24	23	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
25	9, 18, 24	3jaod 1315	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → ((𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞) → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
26	3, 25	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
27	26	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) → (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
28	27	ralrimiva 2567	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
29	28	ralrimiva 2567	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cab 2179  ∀wral 2472   class class class wbr 4029  Qcnq 7340   <_Q cltq 7345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-mi 7366  df-lti 7367  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-ltnqqs 7413

This theorem is referenced by:  nqprxx  7606