ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprloc GIF version

Theorem nqprloc 7467
Description: A cut produced from a rational is located. Lemma for nqprlu 7469. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprloc (𝐴Q → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprloc
StepHypRef Expression
1 nqtri3or 7318 . . . . . . 7 ((𝑞Q𝐴Q) → (𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞))
21ancoms 266 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑞Q) → (𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞))
32ad2antrr 480 . . . . 5 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞))
4 vex 2715 . . . . . . . . . 10 𝑞 ∈ V
5 breq1 3970 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴𝑞 <Q 𝐴))
64, 5elab 2856 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
76biimpri 132 . . . . . . . 8 (𝑞 <Q 𝐴𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})
87orcd 723 . . . . . . 7 (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
98a1i 9 . . . . . 6 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
10 simpr 109 . . . . . . . 8 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → 𝑞 <Q 𝑟)
11 breq1 3970 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑟))
1210, 11syl5ibcom 154 . . . . . . 7 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑟))
13 vex 2715 . . . . . . . . 9 𝑟 ∈ V
14 breq2 3971 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q 𝑟))
1513, 14elab 2856 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
16 olc 701 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
1715, 16sylbir 134 . . . . . . 7 (𝐴 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
1812, 17syl6 33 . . . . . 6 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
19 ltsonq 7320 . . . . . . . . . 10 <Q Or Q
20 ltrelnq 7287 . . . . . . . . . 10 <Q ⊆ (Q × Q)
2119, 20sotri 4983 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → 𝐴 <Q 𝑟)
2221, 17syl 14 . . . . . . . 8 ((𝐴 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
2322expcom 115 . . . . . . 7 (𝑞 <Q 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
2423adantl 275 . . . . . 6 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
259, 18, 243jaod 1286 . . . . 5 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → ((𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞) → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
263, 25mpd 13 . . . 4 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
2726ex 114 . . 3 (((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) → (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
2827ralrimiva 2530 . 2 ((𝐴Q𝑞Q) → ∀𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
2928ralrimiva 2530 1 (𝐴Q → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 698  w3o 962   = wceq 1335  wcel 2128  {cab 2143  wral 2435   class class class wbr 3967  Qcnq 7202   <Q cltq 7207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-eprel 4251  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-irdg 6319  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6482  df-ec 6484  df-qs 6488  df-ni 7226  df-mi 7228  df-lti 7229  df-enq 7269  df-nqqs 7270  df-ltnqqs 7275
This theorem is referenced by:  nqprxx  7468
  Copyright terms: Public domain W3C validator