ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprloc GIF version

Theorem nqprloc 7360
Description: A cut produced from a rational is located. Lemma for nqprlu 7362. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprloc (𝐴Q → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprloc
StepHypRef Expression
1 nqtri3or 7211 . . . . . . 7 ((𝑞Q𝐴Q) → (𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞))
21ancoms 266 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑞Q) → (𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞))
32ad2antrr 479 . . . . 5 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞))
4 vex 2689 . . . . . . . . . 10 𝑞 ∈ V
5 breq1 3932 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴𝑞 <Q 𝐴))
64, 5elab 2828 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
76biimpri 132 . . . . . . . 8 (𝑞 <Q 𝐴𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})
87orcd 722 . . . . . . 7 (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
98a1i 9 . . . . . 6 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
10 simpr 109 . . . . . . . 8 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → 𝑞 <Q 𝑟)
11 breq1 3932 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑟))
1210, 11syl5ibcom 154 . . . . . . 7 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑟))
13 vex 2689 . . . . . . . . 9 𝑟 ∈ V
14 breq2 3933 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q 𝑟))
1513, 14elab 2828 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
16 olc 700 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
1715, 16sylbir 134 . . . . . . 7 (𝐴 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
1812, 17syl6 33 . . . . . 6 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
19 ltsonq 7213 . . . . . . . . . 10 <Q Or Q
20 ltrelnq 7180 . . . . . . . . . 10 <Q ⊆ (Q × Q)
2119, 20sotri 4934 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → 𝐴 <Q 𝑟)
2221, 17syl 14 . . . . . . . 8 ((𝐴 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
2322expcom 115 . . . . . . 7 (𝑞 <Q 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
2423adantl 275 . . . . . 6 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
259, 18, 243jaod 1282 . . . . 5 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → ((𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞) → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
263, 25mpd 13 . . . 4 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
2726ex 114 . . 3 (((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) → (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
2827ralrimiva 2505 . 2 ((𝐴Q𝑞Q) → ∀𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
2928ralrimiva 2505 1 (𝐴Q → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 697  w3o 961   = wceq 1331  wcel 1480  {cab 2125  wral 2416   class class class wbr 3929  Qcnq 7095   <Q cltq 7100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-mi 7121  df-lti 7122  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-ltnqqs 7168
This theorem is referenced by:  nqprxx  7361
  Copyright terms: Public domain W3C validator