Theorem nqprloc 7859

Description: A cut produced from a rational is located. Lemma for nqprlu 7861. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprloc	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqtri3or 7710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞))
2	1	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞))
3	2	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞))
4		vex 2815	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑞 ∈ V
5		breq1 4111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑞 <Q 𝐴))
6	4, 5	elab 2960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
7	6	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 <Q 𝐴 → 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
8	7	orcd 741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
9	8	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
10		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → 𝑞 <Q 𝑟)
11		breq1 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
12	10, 11	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴 → 𝐴 <Q 𝑟))
13		vex 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑟 ∈ V
14		breq2 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
15	13, 14	elab 2960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
16		olc 719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
17	15, 16	sylbir 135	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
18	12, 17	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
19		ltsonq 7712	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q Or Q
20		ltrelnq 7679	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
21	19, 20	sotri 5157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → 𝐴 <Q 𝑟)
22	21, 17	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
23	22	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
24	23	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
25	9, 18, 24	3jaod 1341	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → ((𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞) → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
26	3, 25	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
27	26	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) → (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
28	27	ralrimiva 2615	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
29	28	ralrimiva 2615	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {cab 2218  ∀wral 2520   class class class wbr 4108  Qcnq 7594   <_Q cltq 7599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-eprel 4409  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-oadd 6650  df-omul 6651  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-ni 7618  df-mi 7620  df-lti 7621  df-enq 7661  df-nqqs 7662  df-ltnqqs 7667

This theorem is referenced by:  nqprxx  7860