Theorem nqprloc 7201

Description: A cut produced from a rational is located. Lemma for nqprlu 7203. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprloc	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqtri3or 7052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞))
2	1	ancoms 265	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞))
3	2	ad2antrr 473	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞))
4		vex 2636	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑞 ∈ V
5		breq1 3870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑞 <Q 𝐴))
6	4, 5	elab 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
7	6	biimpri 132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 <Q 𝐴 → 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
8	7	orcd 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
9	8	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
10		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → 𝑞 <Q 𝑟)
11		breq1 3870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
12	10, 11	syl5ibcom 154	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴 → 𝐴 <Q 𝑟))
13		vex 2636	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑟 ∈ V
14		breq2 3871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
15	13, 14	elab 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
16		olc 670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
17	15, 16	sylbir 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
18	12, 17	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
19		ltsonq 7054	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q Or Q
20		ltrelnq 7021	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
21	19, 20	sotri 4860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → 𝐴 <Q 𝑟)
22	21, 17	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
23	22	expcom 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
24	23	adantl 272	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
25	9, 18, 24	3jaod 1247	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → ((𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞) → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
26	3, 25	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
27	26	ex 114	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) → (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
28	27	ralrimiva 2458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
29	28	ralrimiva 2458	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 667   ∨ w3o 926   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  {cab 2081  ∀wral 2370   class class class wbr 3867  Qcnq 6936   <_Q cltq 6941

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-mi 6962  df-lti 6963  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-ltnqqs 7009

This theorem is referenced by:  nqprxx  7202