ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprloc GIF version

Theorem nqprloc 7507
Description: A cut produced from a rational is located. Lemma for nqprlu 7509. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprloc (𝐴Q → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprloc
StepHypRef Expression
1 nqtri3or 7358 . . . . . . 7 ((𝑞Q𝐴Q) → (𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞))
21ancoms 266 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑞Q) → (𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞))
32ad2antrr 485 . . . . 5 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞))
4 vex 2733 . . . . . . . . . 10 𝑞 ∈ V
5 breq1 3992 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴𝑞 <Q 𝐴))
64, 5elab 2874 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
76biimpri 132 . . . . . . . 8 (𝑞 <Q 𝐴𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})
87orcd 728 . . . . . . 7 (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
98a1i 9 . . . . . 6 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
10 simpr 109 . . . . . . . 8 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → 𝑞 <Q 𝑟)
11 breq1 3992 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑟))
1210, 11syl5ibcom 154 . . . . . . 7 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑟))
13 vex 2733 . . . . . . . . 9 𝑟 ∈ V
14 breq2 3993 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q 𝑟))
1513, 14elab 2874 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
16 olc 706 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
1715, 16sylbir 134 . . . . . . 7 (𝐴 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
1812, 17syl6 33 . . . . . 6 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
19 ltsonq 7360 . . . . . . . . . 10 <Q Or Q
20 ltrelnq 7327 . . . . . . . . . 10 <Q ⊆ (Q × Q)
2119, 20sotri 5006 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → 𝐴 <Q 𝑟)
2221, 17syl 14 . . . . . . . 8 ((𝐴 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
2322expcom 115 . . . . . . 7 (𝑞 <Q 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
2423adantl 275 . . . . . 6 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
259, 18, 243jaod 1299 . . . . 5 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → ((𝑞 <Q 𝐴𝑞 = 𝐴𝐴 <Q 𝑞) → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
263, 25mpd 13 . . . 4 ((((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
2726ex 114 . . 3 (((𝐴Q𝑞Q) ∧ 𝑟Q) → (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
2827ralrimiva 2543 . 2 ((𝐴Q𝑞Q) → ∀𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
2928ralrimiva 2543 1 (𝐴Q → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 703  w3o 972   = wceq 1348  wcel 2141  {cab 2156  wral 2448   class class class wbr 3989  Qcnq 7242   <Q cltq 7247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-lti 7269  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-ltnqqs 7315
This theorem is referenced by:  nqprxx  7508
  Copyright terms: Public domain W3C validator