Theorem nqprloc 7543

Description: A cut produced from a rational is located. Lemma for nqprlu 7545. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprloc	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqtri3or 7394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞))
2	1	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞))
3	2	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞))
4		vex 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑞 ∈ V
5		breq1 4006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑞 <Q 𝐴))
6	4, 5	elab 2881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
7	6	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 <Q 𝐴 → 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
8	7	orcd 733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
9	8	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
10		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → 𝑞 <Q 𝑟)
11		breq1 4006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
12	10, 11	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴 → 𝐴 <Q 𝑟))
13		vex 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑟 ∈ V
14		breq2 4007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
15	13, 14	elab 2881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
16		olc 711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
17	15, 16	sylbir 135	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
18	12, 17	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
19		ltsonq 7396	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q Or Q
20		ltrelnq 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
21	19, 20	sotri 5024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → 𝐴 <Q 𝑟)
22	21, 17	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
23	22	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
24	23	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝐴 <Q 𝑞 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
25	9, 18, 24	3jaod 1304	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → ((𝑞 <Q 𝐴 ∨ 𝑞 = 𝐴 ∨ 𝐴 <Q 𝑞) → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
26	3, 25	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
27	26	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ Q) → (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
28	27	ralrimiva 2550	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
29	28	ralrimiva 2550	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∨ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   ∨ w3o 977   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cab 2163  ∀wral 2455   class class class wbr 4003  Qcnq 7278   <_Q cltq 7283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-mi 7304  df-lti 7305  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-ltnqqs 7351

This theorem is referenced by:  nqprxx  7544