Theorem nqprrnd 7738

Description: A cut produced from a rational is rounded. Lemma for nqprlu 7742. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprrnd	⊢ (𝐴 ∈ Q → (∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltbtwnnqq 7610	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <Q 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟))
2		ancom 266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
3	2	rexbii 2537	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
4	1, 3	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
5		vex 2802	. . . . . 6 ⊢ 𝑟 ∈ V
6		breq2 4087	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
7	5, 6	elab 2947	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
8		vex 2802	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑞 ∈ V
9		breq2 4087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑞))
10	8, 9	elab 2947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑞)
11	10	anbi2i 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
12	11	rexbii 2537	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
13	4, 7, 12	3bitr4i 212	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
14	13	rgenw 2585	. . 3 ⊢ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
15	14	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
16		ltbtwnnqq 7610	. . . 4 ⊢ (𝑞 <Q 𝐴 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 <Q 𝐴))
17		breq1 4086	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑞 <Q 𝐴))
18	8, 17	elab 2947	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
19		breq1 4086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑟 <Q 𝐴))
20	5, 19	elab 2947	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑟 <Q 𝐴)
21	20	anbi2i 457	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 <Q 𝐴))
22	21	rexbii 2537	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 <Q 𝐴))
23	16, 18, 22	3bitr4i 212	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
24	23	rgenw 2585	. 2 ⊢ ∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
25	15, 24	jctil 312	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   class class class wbr 4083  Qcnq 7475   <_Q cltq 7480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7499  df-pli 7500  df-mi 7501  df-lti 7502  df-plpq 7539  df-mpq 7540  df-enq 7542  df-nqqs 7543  df-plqqs 7544  df-mqqs 7545  df-1nqqs 7546  df-rq 7547  df-ltnqqs 7548

This theorem is referenced by:  nqprxx  7741