ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprrnd GIF version

Theorem nqprrnd 7373
Description: A cut produced from a rational is rounded. Lemma for nqprlu 7377. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprrnd (𝐴Q → (∀𝑞Q (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprrnd
StepHypRef Expression
1 ltbtwnnqq 7245 . . . . . 6 (𝐴 <Q 𝑟 ↔ ∃𝑞Q (𝐴 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟))
2 ancom 264 . . . . . . 7 ((𝐴 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) ↔ (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑞))
32rexbii 2445 . . . . . 6 (∃𝑞Q (𝐴 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑞))
41, 3bitri 183 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝑟 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑞))
5 vex 2692 . . . . . 6 𝑟 ∈ V
6 breq2 3939 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q 𝑟))
75, 6elab 2831 . . . . 5 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
8 vex 2692 . . . . . . . 8 𝑞 ∈ V
9 breq2 3939 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑞 → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q 𝑞))
108, 9elab 2831 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑞)
1110anbi2i 453 . . . . . 6 ((𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}) ↔ (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑞))
1211rexbii 2445 . . . . 5 (∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}) ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑞))
134, 7, 123bitr4i 211 . . . 4 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
1413rgenw 2490 . . 3 𝑟Q (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
1514a1i 9 . 2 (𝐴Q → ∀𝑟Q (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
16 ltbtwnnqq 7245 . . . 4 (𝑞 <Q 𝐴 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 <Q 𝐴))
17 breq1 3938 . . . . 5 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴𝑞 <Q 𝐴))
188, 17elab 2831 . . . 4 (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
19 breq1 3938 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 <Q 𝐴𝑟 <Q 𝐴))
205, 19elab 2831 . . . . . 6 (𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑟 <Q 𝐴)
2120anbi2i 453 . . . . 5 ((𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ↔ (𝑞 <Q 𝑟𝑟 <Q 𝐴))
2221rexbii 2445 . . . 4 (∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 <Q 𝐴))
2316, 18, 223bitr4i 211 . . 3 (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
2423rgenw 2490 . 2 𝑞Q (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
2515, 24jctil 310 1 (𝐴Q → (∀𝑞Q (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1481  {cab 2126  wral 2417  wrex 2418   class class class wbr 3935  Qcnq 7110   <Q cltq 7115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4049  ax-sep 4052  ax-nul 4060  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-iinf 4508
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-nul 3367  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-tr 4033  df-eprel 4217  df-id 4221  df-po 4224  df-iso 4225  df-iord 4294  df-on 4296  df-suc 4299  df-iom 4511  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-f1 5134  df-fo 5135  df-f1o 5136  df-fv 5137  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-1st 6044  df-2nd 6045  df-recs 6208  df-irdg 6273  df-1o 6319  df-oadd 6323  df-omul 6324  df-er 6435  df-ec 6437  df-qs 6441  df-ni 7134  df-pli 7135  df-mi 7136  df-lti 7137  df-plpq 7174  df-mpq 7175  df-enq 7177  df-nqqs 7178  df-plqqs 7179  df-mqqs 7180  df-1nqqs 7181  df-rq 7182  df-ltnqqs 7183
This theorem is referenced by:  nqprxx  7376
  Copyright terms: Public domain W3C validator