ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprrnd GIF version

Theorem nqprrnd 7319
Description: A cut produced from a rational is rounded. Lemma for nqprlu 7323. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprrnd (𝐴Q → (∀𝑞Q (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprrnd
StepHypRef Expression
1 ltbtwnnqq 7191 . . . . . 6 (𝐴 <Q 𝑟 ↔ ∃𝑞Q (𝐴 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟))
2 ancom 264 . . . . . . 7 ((𝐴 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) ↔ (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑞))
32rexbii 2419 . . . . . 6 (∃𝑞Q (𝐴 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑞))
41, 3bitri 183 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝑟 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑞))
5 vex 2663 . . . . . 6 𝑟 ∈ V
6 breq2 3903 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q 𝑟))
75, 6elab 2802 . . . . 5 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
8 vex 2663 . . . . . . . 8 𝑞 ∈ V
9 breq2 3903 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑞 → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q 𝑞))
108, 9elab 2802 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑞)
1110anbi2i 452 . . . . . 6 ((𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}) ↔ (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑞))
1211rexbii 2419 . . . . 5 (∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}) ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑞))
134, 7, 123bitr4i 211 . . . 4 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
1413rgenw 2464 . . 3 𝑟Q (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
1514a1i 9 . 2 (𝐴Q → ∀𝑟Q (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})))
16 ltbtwnnqq 7191 . . . 4 (𝑞 <Q 𝐴 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 <Q 𝐴))
17 breq1 3902 . . . . 5 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴𝑞 <Q 𝐴))
188, 17elab 2802 . . . 4 (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
19 breq1 3902 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 <Q 𝐴𝑟 <Q 𝐴))
205, 19elab 2802 . . . . . 6 (𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑟 <Q 𝐴)
2120anbi2i 452 . . . . 5 ((𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ↔ (𝑞 <Q 𝑟𝑟 <Q 𝐴))
2221rexbii 2419 . . . 4 (∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 <Q 𝐴))
2316, 18, 223bitr4i 211 . . 3 (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
2423rgenw 2464 . 2 𝑞Q (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
2515, 24jctil 310 1 (𝐴Q → (∀𝑞Q (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1465  {cab 2103  wral 2393  wrex 2394   class class class wbr 3899  Qcnq 7056   <Q cltq 7061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-lti 7083  df-plpq 7120  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129
This theorem is referenced by:  nqprxx  7322
  Copyright terms: Public domain W3C validator