Theorem nqprrnd 7904

Description: A cut produced from a rational is rounded. Lemma for nqprlu 7908. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprrnd	⊢ (𝐴 ∈ Q → (∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltbtwnnqq 7776	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <Q 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟))
2		ancom 266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
3	2	rexbii 2557	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑞 ∧ 𝑞 <Q 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
4	1, 3	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
5		vex 2824	. . . . . 6 ⊢ 𝑟 ∈ V
6		breq2 4132	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
7	5, 6	elab 2970	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
8		vex 2824	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑞 ∈ V
9		breq2 4132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑞))
10	8, 9	elab 2970	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑞)
11	10	anbi2i 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
12	11	rexbii 2557	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝐴 <Q 𝑞))
13	4, 7, 12	3bitr4i 212	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
14	13	rgenw 2605	. . 3 ⊢ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))
15	14	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})))
16		ltbtwnnqq 7776	. . . 4 ⊢ (𝑞 <Q 𝐴 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 <Q 𝐴))
17		breq1 4131	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑞 <Q 𝐴))
18	8, 17	elab 2970	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
19		breq1 4131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑟 <Q 𝐴))
20	5, 19	elab 2970	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑟 <Q 𝐴)
21	20	anbi2i 461	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 <Q 𝐴))
22	21	rexbii 2557	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 <Q 𝐴))
23	16, 18, 22	3bitr4i 212	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
24	23	rgenw 2605	. 2 ⊢ ∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
25	15, 24	jctil 312	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   class class class wbr 4128  Qcnq 7641   <_Q cltq 7646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-pli 7666  df-mi 7667  df-lti 7668  df-plpq 7705  df-mpq 7706  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-plqqs 7710  df-mqqs 7711  df-1nqqs 7712  df-rq 7713  df-ltnqqs 7714

This theorem is referenced by:  nqprxx  7907