Theorem php5 6916

Description: A natural number is not equinumerous to its successor. Corollary 10.21(1) of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
php5	⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem php5

Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → 𝑤 = ∅)
2		suceq 4434	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
3	1, 2	breq12d 4043	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ ∅ ≈ suc ∅))
4	3	notbid 668	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (¬ 𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ ¬ ∅ ≈ suc ∅))
5		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → 𝑤 = 𝑘)
6		suceq 4434	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → suc 𝑤 = suc 𝑘)
7	5, 6	breq12d 4043	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ 𝑘 ≈ suc 𝑘))
8	7	notbid 668	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (¬ 𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ ¬ 𝑘 ≈ suc 𝑘))
9		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → 𝑤 = suc 𝑘)
10		suceq 4434	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → suc 𝑤 = suc suc 𝑘)
11	9, 10	breq12d 4043	. . 3 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ suc 𝑘 ≈ suc suc 𝑘))
12	11	notbid 668	. 2 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (¬ 𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ ¬ suc 𝑘 ≈ suc suc 𝑘))
13		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → 𝑤 = 𝐴)
14		suceq 4434	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → suc 𝑤 = suc 𝐴)
15	13, 14	breq12d 4043	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝐴))
16	15	notbid 668	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (¬ 𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐴))
17		peano1 4627	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
18		peano3 4629	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ≠ ∅)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ suc ∅ ≠ ∅
20		en0 6851	. . . 4 ⊢ (suc ∅ ≈ ∅ ↔ suc ∅ = ∅)
21	19, 20	nemtbir 2453	. . 3 ⊢ ¬ suc ∅ ≈ ∅
22		ensymb 6836	. . 3 ⊢ (suc ∅ ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ suc ∅)
23	21, 22	mtbi 671	. 2 ⊢ ¬ ∅ ≈ suc ∅
24		peano2 4628	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
25		vex 2763	. . . . 5 ⊢ 𝑘 ∈ V
26	25	sucex 4532	. . . . 5 ⊢ suc 𝑘 ∈ V
27	25, 26	phplem4 6913	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ suc 𝑘 ∈ ω) → (suc 𝑘 ≈ suc suc 𝑘 → 𝑘 ≈ suc 𝑘))
28	24, 27	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (suc 𝑘 ≈ suc suc 𝑘 → 𝑘 ≈ suc 𝑘))
29	28	con3d 632	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (¬ 𝑘 ≈ suc 𝑘 → ¬ suc 𝑘 ≈ suc suc 𝑘))
30	4, 8, 12, 16, 23, 29	finds 4633	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∅c0 3447   class class class wbr 4030  suc csuc 4397  ωcom 4623   ≈ cen 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6589  df-en 6797

This theorem is referenced by:  snnen2og  6917  1nen2  6919  php5dom  6921  php5fin  6940