ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  php5 GIF version

Theorem php5 6756
Description: A natural number is not equinumerous to its successor. Corollary 10.21(1) of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
php5 (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem php5
Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4 (𝑤 = ∅ → 𝑤 = ∅)
2 suceq 4328 . . . 4 (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
31, 2breq12d 3946 . . 3 (𝑤 = ∅ → (𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ ∅ ≈ suc ∅))
43notbid 657 . 2 (𝑤 = ∅ → (¬ 𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ ¬ ∅ ≈ suc ∅))
5 id 19 . . . 4 (𝑤 = 𝑘𝑤 = 𝑘)
6 suceq 4328 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → suc 𝑤 = suc 𝑘)
75, 6breq12d 3946 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 ≈ suc 𝑤𝑘 ≈ suc 𝑘))
87notbid 657 . 2 (𝑤 = 𝑘 → (¬ 𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ ¬ 𝑘 ≈ suc 𝑘))
9 id 19 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑘𝑤 = suc 𝑘)
10 suceq 4328 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑘 → suc 𝑤 = suc suc 𝑘)
119, 10breq12d 3946 . . 3 (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ suc 𝑘 ≈ suc suc 𝑘))
1211notbid 657 . 2 (𝑤 = suc 𝑘 → (¬ 𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ ¬ suc 𝑘 ≈ suc suc 𝑘))
13 id 19 . . . 4 (𝑤 = 𝐴𝑤 = 𝐴)
14 suceq 4328 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → suc 𝑤 = suc 𝐴)
1513, 14breq12d 3946 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 ≈ suc 𝑤𝐴 ≈ suc 𝐴))
1615notbid 657 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (¬ 𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐴))
17 peano1 4512 . . . . 5 ∅ ∈ ω
18 peano3 4514 . . . . 5 (∅ ∈ ω → suc ∅ ≠ ∅)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 suc ∅ ≠ ∅
20 en0 6693 . . . 4 (suc ∅ ≈ ∅ ↔ suc ∅ = ∅)
2119, 20nemtbir 2398 . . 3 ¬ suc ∅ ≈ ∅
22 ensymb 6678 . . 3 (suc ∅ ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ suc ∅)
2321, 22mtbi 660 . 2 ¬ ∅ ≈ suc ∅
24 peano2 4513 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
25 vex 2690 . . . . 5 𝑘 ∈ V
2625sucex 4419 . . . . 5 suc 𝑘 ∈ V
2725, 26phplem4 6753 . . . 4 ((𝑘 ∈ ω ∧ suc 𝑘 ∈ ω) → (suc 𝑘 ≈ suc suc 𝑘𝑘 ≈ suc 𝑘))
2824, 27mpdan 418 . . 3 (𝑘 ∈ ω → (suc 𝑘 ≈ suc suc 𝑘𝑘 ≈ suc 𝑘))
2928con3d 621 . 2 (𝑘 ∈ ω → (¬ 𝑘 ≈ suc 𝑘 → ¬ suc 𝑘 ≈ suc suc 𝑘))
304, 8, 12, 16, 23, 29finds 4518 1 (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1332  wcel 1481  wne 2309  c0 3364   class class class wbr 3933  suc csuc 4291  ωcom 4508  cen 6636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-br 3934  df-opab 3994  df-tr 4031  df-id 4219  df-iord 4292  df-on 4294  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-er 6433  df-en 6639
This theorem is referenced by:  snnen2og  6757  1nen2  6759  php5dom  6761  php5fin  6780
  Copyright terms: Public domain W3C validator