Theorem pnfge 10012

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
pnfge	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

Proof of Theorem pnfge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnlt 10010	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
2		pnfxr 8220	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		xrlenlt 8232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
4	2, 3	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4084  +∞cpnf 8199  ℝ^*cxr 8201   < clt 8202   ≤ cle 8203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-br 4085  df-opab 4147  df-xp 4727  df-cnv 4729  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208

This theorem is referenced by:  0lepnf  10013  xnn0dcle  10025  xnn0letri  10026  xrre2  10044  xleadd1a  10096  xltadd1  10099  xlt2add  10103  xsubge0  10104  xlesubadd  10106  xleaddadd  10110  elico2  10160  iccmax  10172  elxrge0  10201  elicore  10514  xqltnle  10515  xrmaxifle  11794  xrmaxadd  11809  xrbdtri  11824  pcdvdsb  12880  pc2dvds  12890  pcaddlem  12899  isxmet2d  15059  blssec  15149