ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pnfge GIF version

Theorem pnfge 9773
Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
pnfge (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)

Proof of Theorem pnfge
StepHypRef Expression
1 pnfnlt 9771 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
2 pnfxr 7997 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
3 xrlenlt 8009 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
42, 3mpan2 425 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
51, 4mpbird 167 1 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 105  wcel 2148   class class class wbr 4000  +∞cpnf 7976  *cxr 7978   < clt 7979  cle 7980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4629  df-cnv 4631  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985
This theorem is referenced by:  0lepnf  9774  xnn0dcle  9786  xnn0letri  9787  xrre2  9805  xleadd1a  9857  xltadd1  9860  xlt2add  9864  xsubge0  9865  xlesubadd  9867  xleaddadd  9871  elico2  9921  iccmax  9933  elxrge0  9962  elicore  10250  xrmaxifle  11235  xrmaxadd  11250  xrbdtri  11265  pcdvdsb  12299  pc2dvds  12309  pcaddlem  12318  isxmet2d  13508  blssec  13598
  Copyright terms: Public domain W3C validator