Theorem pnfge 10024

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
pnfge	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

Proof of Theorem pnfge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnlt 10022	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
2		pnfxr 8232	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		xrlenlt 8244	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
4	2, 3	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  +∞cpnf 8211  ℝ^*cxr 8213   < clt 8214   ≤ cle 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220

This theorem is referenced by:  0lepnf  10025  xnn0dcle  10037  xnn0letri  10038  xrre2  10056  xleadd1a  10108  xltadd1  10111  xlt2add  10115  xsubge0  10116  xlesubadd  10118  xleaddadd  10122  elico2  10172  iccmax  10184  elxrge0  10213  elicore  10527  xqltnle  10528  xrmaxifle  11811  xrmaxadd  11826  xrbdtri  11841  pcdvdsb  12898  pc2dvds  12908  pcaddlem  12917  isxmet2d  15078  blssec  15168