ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pnfge GIF version

Theorem pnfge 9191
Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
pnfge (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)

Proof of Theorem pnfge
StepHypRef Expression
1 pnfnlt 9189 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
2 pnfxr 7484 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
3 xrlenlt 7495 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
42, 3mpan2 416 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
51, 4mpbird 165 1 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 103  wcel 1436   class class class wbr 3820  +∞cpnf 7463  *cxr 7465   < clt 7466  cle 7467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-xp 4417  df-cnv 4419  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472
This theorem is referenced by:  0lepnf  9192  xrre2  9215  elico2  9287  iccmax  9299  elxrge0  9328
  Copyright terms: Public domain W3C validator