Theorem pnfge 10202

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
pnfge	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

Proof of Theorem pnfge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnlt 10200	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
2		pnfxr 8379	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		xrlenlt 8391	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
4	2, 3	mpan2 429	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  +∞cpnf 8358  ℝ^*cxr 8360   < clt 8361   ≤ cle 8362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367

This theorem is used by:  0lepnf  10203  xnn0dcle  10215  xnn0letri  10216  xrre2  10234  xleadd1a  10286  xltadd1  10289  xlt2add  10293  xsubge0  10294  xlesubadd  10296  xleaddadd  10300  elico2  10350  iccmax  10362  elxrge0  10391  elicore  10712  xqltnle  10713  xrmaxifle  12030  xrmaxadd  12045  xrbdtri  12060  pcdvdsb  13121  pc2dvds  13131  pcaddlem  13140  isxmet2d  15501  blssec  15591