Theorem quseccl 13363

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusadd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
quseccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
quseccl	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem quseccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13335	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgrcl 13309	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	3	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
7		eqid 2196	. . 3 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
8		qusgrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
9		qusadd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
10		quseccl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
11	7, 8, 9, 10	quseccl0g 13361	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ 𝐵)
12	4, 5, 6, 11	syl3anc 1249	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  [cec 6590  Basecbs 12678   /_s cqus 12943  Grpcgrp 13132  SubGrpcsubg 13297  NrmSGrpcnsg 13298   ~_QG cqg 13299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-ec 6594  df-qs 6598  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-iimas 12945  df-qus 12946  df-subg 13300  df-nsg 13301  df-eqg 13302

This theorem is referenced by:  qus0  13365  qusinv  13366  qussub  13367  qusghm  13412