Theorem quseccl 13439

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusadd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
quseccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
quseccl	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem quseccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13411	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgrcl 13385	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	3	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
7		eqid 2196	. . 3 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
8		qusgrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
9		qusadd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
10		quseccl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
11	7, 8, 9, 10	quseccl0g 13437	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ 𝐵)
12	4, 5, 6, 11	syl3anc 1249	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  [cec 6599  Basecbs 12703   /_s cqus 13002  Grpcgrp 13202  SubGrpcsubg 13373  NrmSGrpcnsg 13374   ~_QG cqg 13375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-ec 6603  df-qs 6607  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-iimas 13004  df-qus 13005  df-subg 13376  df-nsg 13377  df-eqg 13378

This theorem is referenced by:  qus0  13441  qusinv  13442  qussub  13443  qusghm  13488