ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recdivap Unicode version

Theorem recdivap 8282
Description: The reciprocal of a ratio. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
recdivap  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )  ->  ( 1  / 
( A  /  B
) )  =  ( B  /  A ) )

Proof of Theorem recdivap
StepHypRef Expression
1 1div1e1 8268 . . . 4  |-  ( 1  /  1 )  =  1
21oveq1i 5700 . . 3  |-  ( ( 1  /  1 )  /  ( A  /  B ) )  =  ( 1  /  ( A  /  B ) )
3 ax-1cn 7535 . . . 4  |-  1  e.  CC
4 1ap0 8164 . . . . 5  |-  1 #  0
53, 4pm3.2i 267 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  /\  1 #  0 )
6 divdivdivap 8277 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  CC  /\  ( 1  e.  CC  /\  1 #  0 ) )  /\  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) ) )  ->  ( ( 1  /  1 )  / 
( A  /  B
) )  =  ( ( 1  x.  B
)  /  ( 1  x.  A ) ) )
73, 5, 6mpanl12 428 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )  ->  ( ( 1  /  1 )  / 
( A  /  B
) )  =  ( ( 1  x.  B
)  /  ( 1  x.  A ) ) )
82, 7syl5eqr 2141 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )  ->  ( 1  / 
( A  /  B
) )  =  ( ( 1  x.  B
)  /  ( 1  x.  A ) ) )
9 mulid2 7583 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
1  x.  B )  =  B )
10 mulid2 7583 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
119, 10oveqan12rd 5710 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  x.  B )  /  (
1  x.  A ) )  =  ( B  /  A ) )
1211ad2ant2r 494 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )  ->  ( ( 1  x.  B )  / 
( 1  x.  A
) )  =  ( B  /  A ) )
138, 12eqtrd 2127 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )  ->  ( 1  / 
( A  /  B
) )  =  ( B  /  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1296    e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   CCcc 7445   0cc0 7447   1c1 7448    x. cmul 7452   # cap 8155    / cdiv 8236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237
This theorem is referenced by:  divcanap6  8283  recdivapd  8371
  Copyright terms: Public domain W3C validator