Theorem 1ap0 8829

Description: One is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
1ap0	|- 1 # 0

Proof of Theorem 1ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 8365	. . 3 |- 0 < 1
2	1	olci 740	. 2 |- ( 1 < 0 \/ 0 < 1 )
3		1re 8238	. . 3 |- 1 e. RR
4		0re 8239	. . 3 |- 0 e. RR
5		reaplt 8827	. . 3 |- ( ( 1 e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( 1 # 0 <-> ( 1 < 0 \/ 0 < 1 ) ) )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. 2 |- ( 1 # 0 <-> ( 1 < 0 \/ 0 < 1 ) )
7	2, 6	mpbir 146	1 |- 1 # 0

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 716   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   < clt 8273   # cap 8820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821

This theorem is referenced by:  recapb  8910  recap0  8924  div1  8942  recdivap  8957  divdivap1  8962  divdivap2  8963  neg1ap0  9311  iap0  9426  qreccl  9937  expcl2lemap  10876  m1expcl2  10886  expclzaplem  10888  1exp  10893  geo2sum2  12156  geoihalfsum  12163  fprodntrivap  12225  prod0  12226  prod1dc  12227  fprodap0  12262  fprodap0f  12277  efap0  12318  tan0  12372  1sgm2ppw  15809  lgsne0  15857  lgseisenlem1  15889  lgseisenlem2  15890  lgsquadlem1  15896  cvgcmp2nlemabs  16764  trirec0  16776