Theorem 1ap0 8665

Description: One is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
1ap0	|- 1 # 0

Proof of Theorem 1ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 8201	. . 3 |- 0 < 1
2	1	olci 734	. 2 |- ( 1 < 0 \/ 0 < 1 )
3		1re 8073	. . 3 |- 1 e. RR
4		0re 8074	. . 3 |- 0 e. RR
5		reaplt 8663	. . 3 |- ( ( 1 e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( 1 # 0 <-> ( 1 < 0 \/ 0 < 1 ) ) )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. 2 |- ( 1 # 0 <-> ( 1 < 0 \/ 0 < 1 ) )
7	2, 6	mpbir 146	1 |- 1 # 0

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 710   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   RRcr 7926   0cc0 7927   1c1 7928   < clt 8109   # cap 8656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657

This theorem is referenced by:  recapb  8746  recap0  8760  div1  8778  recdivap  8793  divdivap1  8798  divdivap2  8799  neg1ap0  9147  iap0  9262  qreccl  9765  expcl2lemap  10698  m1expcl2  10708  expclzaplem  10710  1exp  10715  geo2sum2  11859  geoihalfsum  11866  fprodntrivap  11928  prod0  11929  prod1dc  11930  fprodap0  11965  fprodap0f  11980  efap0  12021  tan0  12075  1sgm2ppw  15500  lgsne0  15548  lgseisenlem1  15580  lgseisenlem2  15581  lgsquadlem1  15587  cvgcmp2nlemabs  16008  trirec0  16020