Theorem 1ap0 8498

Description: One is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
1ap0	|- 1 # 0

Proof of Theorem 1ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 8035	. . 3 |- 0 < 1
2	1	olci 727	. 2 |- ( 1 < 0 \/ 0 < 1 )
3		1re 7908	. . 3 |- 1 e. RR
4		0re 7909	. . 3 |- 0 e. RR
5		reaplt 8496	. . 3 |- ( ( 1 e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( 1 # 0 <-> ( 1 < 0 \/ 0 < 1 ) ) )
6	3, 4, 5	mp2an 424	. 2 |- ( 1 # 0 <-> ( 1 < 0 \/ 0 < 1 ) )
7	2, 6	mpbir 145	1 |- 1 # 0

Syntax hints:   <-> wb 104   \/ wo 703   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   RRcr 7762   0cc0 7763   1c1 7764   < clt 7943   # cap 8489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-ltxr 7948  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490

This theorem is referenced by:  recap0  8591  div1  8609  recdivap  8624  divdivap1  8629  divdivap2  8630  neg1ap0  8976  iap0  9090  qreccl  9590  expcl2lemap  10477  m1expcl2  10487  expclzaplem  10489  1exp  10494  geo2sum2  11467  geoihalfsum  11474  fprodntrivap  11536  prod0  11537  prod1dc  11538  fprodap0  11573  fprodap0f  11588  efap0  11629  tan0  11683  lgsne0  13694  cvgcmp2nlemabs  14026  trirec0  14038