Theorem mulgrhm2 13925

Description: The powers of the element 1 give the unique ring homomorphism from ZZ to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	|- .x. = (.g ` R )
mulgghm2.f	|- F = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) )
mulgrhm.1	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mulgrhm2	|- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) = { F } )

Distinct variable groups:   R, n   .x. , n   .1. , n

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem mulgrhm2

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 13912	. . . . . . . . . 10 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
2		eqid 2189	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3	1, 2	rhmf 13530	. . . . . . . . 9 |- ( f e. (ℤring RingHom R ) -> f : ZZ --> ( Base ` R ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f : ZZ --> ( Base ` R ) )
5	4	feqmptd 5590	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f = ( n e. ZZ |-> ( f ` n ) ) )
6		rhmghm 13529	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. (ℤring RingHom R ) -> f e. (ℤring GrpHom R ) )
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> f e. (ℤring GrpHom R ) )
8		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
9		1zzd 9311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
10		eqid 2189	. . . . . . . . . . 11 |- (.g ` ℤring ) = (.g ` ℤring )
11		mulgghm2.m	. . . . . . . . . . 11 |- .x. = (.g ` R )
12	1, 10, 11	ghmmulg 13212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. (ℤring GrpHom R ) /\ n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( f ` ( n (.g ` ℤring ) 1 ) ) = ( n .x. ( f ` 1 ) ) )
13	7, 8, 9, 12	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` ( n (.g ` ℤring ) 1 ) ) = ( n .x. ( f ` 1 ) ) )
14		ax-1cn 7935	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
15		cnfldmulg 13896	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. CC ) -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
16	14, 15	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
17		1z 9310	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
18	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
19		zringmulg 13914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℤring ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
20	18, 19	eqtr4d 2225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n (.g ` ℤring ) 1 ) )
21	17, 20	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n (.g ` ℤring ) 1 ) )
22		zcn 9289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
23	22	mulridd 8005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( n x. 1 ) = n )
24	16, 21, 23	3eqtr3d 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` ℤring ) 1 ) = n )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℤring ) 1 ) = n )
26	25	fveq2d 5538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` ( n (.g ` ℤring ) 1 ) ) = ( f ` n ) )
27		zring1 13917	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 = ( 1r ` ℤring )
28		mulgrhm.1	. . . . . . . . . . . 12 |- .1. = ( 1r ` R )
29	27, 28	rhm1 13534	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. (ℤring RingHom R ) -> ( f ` 1 ) = .1. )
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` 1 ) = .1. )
31	30	oveq2d 5913	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( n .x. ( f ` 1 ) ) = ( n .x. .1. ) )
32	13, 26, 31	3eqtr3d 2230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` n ) = ( n .x. .1. ) )
33	32	mpteq2dva 4108	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> ( n e. ZZ |-> ( f ` n ) ) = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) )
34	5, 33	eqtrd 2222	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) )
35		mulgghm2.f	. . . . . 6 |- F = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) )
36	34, 35	eqtr4di 2240	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f = F )
37		velsn 3624	. . . . 5 |- ( f e. { F } <-> f = F )
38	36, 37	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f e. { F } )
39	38	ex 115	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( f e. (ℤring RingHom R ) -> f e. { F } ) )
40	39	ssrdv 3176	. 2 |- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) C_ { F } )
41	11, 35, 28	mulgrhm 13924	. . 3 |- ( R e. Ring -> F e. (ℤring RingHom R ) )
42	41	snssd 3752	. 2 |- ( R e. Ring -> { F } C_ (ℤring RingHom R ) )
43	40, 42	eqssd 3187	1 |- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) = { F } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   {csn 3607   |-> cmpt 4079   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   1c1 7843   x. cmul 7847   ZZcz 9284   Basecbs 12515  ._gcmg 13076   GrpHom cghm 13196   1rcur 13330   Ringcrg 13367   RingHom crh 13517  ℂ_fldccnfld 13881  ℤ_ringczring 13906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-addf 7964  ax-mulf 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-map 6677  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-dec 9416  df-uz 9560  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-cj 10886  df-struct 12517  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-iress 12523  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-starv 12607  df-0g 12766  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-mhm 12926  df-grp 12963  df-minusg 12964  df-mulg 13077  df-subg 13126  df-ghm 13197  df-cmn 13242  df-mgp 13292  df-ur 13331  df-ring 13369  df-cring 13370  df-rhm 13519  df-subrg 13583  df-icnfld 13882  df-zring 13907

This theorem is referenced by:  zrhval2  13933  zrhrhmb  13936