Theorem mulgrhm2 14242

Description: The powers of the element 1 give the unique ring homomorphism from ZZ to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	|- .x. = (.g ` R )
mulgghm2.f	|- F = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) )
mulgrhm.1	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mulgrhm2	|- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) = { F } )

Distinct variable groups:   R, n   .x. , n   .1. , n

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem mulgrhm2

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 14228	. . . . . . . . . 10 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
2		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3	1, 2	rhmf 13795	. . . . . . . . 9 |- ( f e. (ℤring RingHom R ) -> f : ZZ --> ( Base ` R ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f : ZZ --> ( Base ` R ) )
5	4	feqmptd 5617	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f = ( n e. ZZ |-> ( f ` n ) ) )
6		rhmghm 13794	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. (ℤring RingHom R ) -> f e. (ℤring GrpHom R ) )
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> f e. (ℤring GrpHom R ) )
8		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
9		1zzd 9370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
10		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 |- (.g ` ℤring ) = (.g ` ℤring )
11		mulgghm2.m	. . . . . . . . . . 11 |- .x. = (.g ` R )
12	1, 10, 11	ghmmulg 13462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. (ℤring GrpHom R ) /\ n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( f ` ( n (.g ` ℤring ) 1 ) ) = ( n .x. ( f ` 1 ) ) )
13	7, 8, 9, 12	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` ( n (.g ` ℤring ) 1 ) ) = ( n .x. ( f ` 1 ) ) )
14		ax-1cn 7989	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
15		cnfldmulg 14208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. CC ) -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
16	14, 15	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
17		1z 9369	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
18	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
19		zringmulg 14230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℤring ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
20	18, 19	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n (.g ` ℤring ) 1 ) )
21	17, 20	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n (.g ` ℤring ) 1 ) )
22		zcn 9348	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
23	22	mulridd 8060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( n x. 1 ) = n )
24	16, 21, 23	3eqtr3d 2237	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` ℤring ) 1 ) = n )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℤring ) 1 ) = n )
26	25	fveq2d 5565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` ( n (.g ` ℤring ) 1 ) ) = ( f ` n ) )
27		zring1 14233	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 = ( 1r ` ℤring )
28		mulgrhm.1	. . . . . . . . . . . 12 |- .1. = ( 1r ` R )
29	27, 28	rhm1 13799	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. (ℤring RingHom R ) -> ( f ` 1 ) = .1. )
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` 1 ) = .1. )
31	30	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( n .x. ( f ` 1 ) ) = ( n .x. .1. ) )
32	13, 26, 31	3eqtr3d 2237	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` n ) = ( n .x. .1. ) )
33	32	mpteq2dva 4124	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> ( n e. ZZ |-> ( f ` n ) ) = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) )
34	5, 33	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) )
35		mulgghm2.f	. . . . . 6 |- F = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) )
36	34, 35	eqtr4di 2247	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f = F )
37		velsn 3640	. . . . 5 |- ( f e. { F } <-> f = F )
38	36, 37	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f e. { F } )
39	38	ex 115	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( f e. (ℤring RingHom R ) -> f e. { F } ) )
40	39	ssrdv 3190	. 2 |- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) C_ { F } )
41	11, 35, 28	mulgrhm 14241	. . 3 |- ( R e. Ring -> F e. (ℤring RingHom R ) )
42	41	snssd 3768	. 2 |- ( R e. Ring -> { F } C_ (ℤring RingHom R ) )
43	40, 42	eqssd 3201	1 |- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) = { F } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   {csn 3623   |-> cmpt 4095   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   1c1 7897   x. cmul 7901   ZZcz 9343   Basecbs 12703  ._gcmg 13325   GrpHom cghm 13446   1rcur 13591   Ringcrg 13628   RingHom crh 13782  ℂ_fldccnfld 14188  ℤ_ringczring 14222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-cj 11024  df-abs 11181  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-starv 12795  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-unif 12803  df-0g 12960  df-topgen 12962  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-mhm 13161  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-mulg 13326  df-subg 13376  df-ghm 13447  df-cmn 13492  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-ring 13630  df-cring 13631  df-rhm 13784  df-subrg 13851  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-fg 14181  df-metu 14182  df-cnfld 14189  df-zring 14223

This theorem is referenced by:  zrhval2  14251  zrhrhmb  14254