Theorem mulgrhm2 14372

Description: The powers of the element 1 give the unique ring homomorphism from ZZ to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	|- .x. = (.g ` R )
mulgghm2.f	|- F = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) )
mulgrhm.1	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mulgrhm2	|- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) = { F } )

Distinct variable groups:   R, n   .x. , n   .1. , n

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem mulgrhm2

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 14358	. . . . . . . . . 10 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
2		eqid 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3	1, 2	rhmf 13925	. . . . . . . . 9 |- ( f e. (ℤring RingHom R ) -> f : ZZ --> ( Base ` R ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f : ZZ --> ( Base ` R ) )
5	4	feqmptd 5632	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f = ( n e. ZZ |-> ( f ` n ) ) )
6		rhmghm 13924	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. (ℤring RingHom R ) -> f e. (ℤring GrpHom R ) )
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> f e. (ℤring GrpHom R ) )
8		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
9		1zzd 9399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
10		eqid 2205	. . . . . . . . . . 11 |- (.g ` ℤring ) = (.g ` ℤring )
11		mulgghm2.m	. . . . . . . . . . 11 |- .x. = (.g ` R )
12	1, 10, 11	ghmmulg 13592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. (ℤring GrpHom R ) /\ n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( f ` ( n (.g ` ℤring ) 1 ) ) = ( n .x. ( f ` 1 ) ) )
13	7, 8, 9, 12	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` ( n (.g ` ℤring ) 1 ) ) = ( n .x. ( f ` 1 ) ) )
14		ax-1cn 8018	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
15		cnfldmulg 14338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. CC ) -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
16	14, 15	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
17		1z 9398	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
18	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
19		zringmulg 14360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℤring ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
20	18, 19	eqtr4d 2241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n (.g ` ℤring ) 1 ) )
21	17, 20	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n (.g ` ℤring ) 1 ) )
22		zcn 9377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
23	22	mulridd 8089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( n x. 1 ) = n )
24	16, 21, 23	3eqtr3d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` ℤring ) 1 ) = n )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℤring ) 1 ) = n )
26	25	fveq2d 5580	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` ( n (.g ` ℤring ) 1 ) ) = ( f ` n ) )
27		zring1 14363	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 = ( 1r ` ℤring )
28		mulgrhm.1	. . . . . . . . . . . 12 |- .1. = ( 1r ` R )
29	27, 28	rhm1 13929	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. (ℤring RingHom R ) -> ( f ` 1 ) = .1. )
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` 1 ) = .1. )
31	30	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( n .x. ( f ` 1 ) ) = ( n .x. .1. ) )
32	13, 26, 31	3eqtr3d 2246	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` n ) = ( n .x. .1. ) )
33	32	mpteq2dva 4134	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> ( n e. ZZ |-> ( f ` n ) ) = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) )
34	5, 33	eqtrd 2238	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) )
35		mulgghm2.f	. . . . . 6 |- F = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) )
36	34, 35	eqtr4di 2256	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f = F )
37		velsn 3650	. . . . 5 |- ( f e. { F } <-> f = F )
38	36, 37	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f e. { F } )
39	38	ex 115	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( f e. (ℤring RingHom R ) -> f e. { F } ) )
40	39	ssrdv 3199	. 2 |- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) C_ { F } )
41	11, 35, 28	mulgrhm 14371	. . 3 |- ( R e. Ring -> F e. (ℤring RingHom R ) )
42	41	snssd 3778	. 2 |- ( R e. Ring -> { F } C_ (ℤring RingHom R ) )
43	40, 42	eqssd 3210	1 |- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) = { F } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   {csn 3633   |-> cmpt 4105   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   1c1 7926   x. cmul 7930   ZZcz 9372   Basecbs 12832  ._gcmg 13455   GrpHom cghm 13576   1rcur 13721   Ringcrg 13758   RingHom crh 13912  ℂ_fldccnfld 14318  ℤ_ringczring 14352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-addf 8047  ax-mulf 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-tp 3641  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-map 6737  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-z 9373  df-dec 9505  df-uz 9649  df-rp 9776  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-seqfrec 10593  df-cj 11153  df-abs 11310  df-struct 12834  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-starv 12924  df-tset 12928  df-ple 12929  df-ds 12931  df-unif 12932  df-0g 13090  df-topgen 13092  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-mhm 13291  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-mulg 13456  df-subg 13506  df-ghm 13577  df-cmn 13622  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-ring 13760  df-cring 13761  df-rhm 13914  df-subrg 13981  df-bl 14308  df-mopn 14309  df-fg 14311  df-metu 14312  df-cnfld 14319  df-zring 14353

This theorem is referenced by:  zrhval2  14381  zrhrhmb  14384