Theorem mulgrhm2 15054

Description: The powers of the element 1 give the unique ring homomorphism from ZZ to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	|- .x. = (.g ` R )
mulgghm2.f	|- F = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) )
mulgrhm.1	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mulgrhm2	|- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) = { F } )

Distinct variable groups:   R, n   .x. , n   .1. , n

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem mulgrhm2

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 15040	. . . . . . . . . 10 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
2		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3	1, 2	rhmf 14579	. . . . . . . . 9 |- ( f e. (ℤring RingHom R ) -> f : ZZ --> ( Base ` R ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f : ZZ --> ( Base ` R ) )
5	4	feqmptd 5759	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f = ( n e. ZZ |-> ( f ` n ) ) )
6		rhmghm 14578	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. (ℤring RingHom R ) -> f e. (ℤring GrpHom R ) )
7	6	ad2antlr 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> f e. (ℤring GrpHom R ) )
8		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
9		1zzd 9682	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
10		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- (.g ` ℤring ) = (.g ` ℤring )
11		mulgghm2.m	. . . . . . . . . . 11 |- .x. = (.g ` R )
12	1, 10, 11	ghmmulg 14118	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. (ℤring GrpHom R ) /\ n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( f ` ( n (.g ` ℤring ) 1 ) ) = ( n .x. ( f ` 1 ) ) )
13	7, 8, 9, 12	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` ( n (.g ` ℤring ) 1 ) ) = ( n .x. ( f ` 1 ) ) )
14		ax-1cn 8278	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
15		cnfldmulg 15022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. CC ) -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
16	14, 15	mpan2 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
17		1z 9681	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
18	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
19		zringmulg 15042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℤring ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
20	18, 19	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n (.g ` ℤring ) 1 ) )
21	17, 20	mpan2 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n (.g ` ℤring ) 1 ) )
22		zcn 9660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
23	22	mulridd 8349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( n x. 1 ) = n )
24	16, 21, 23	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` ℤring ) 1 ) = n )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℤring ) 1 ) = n )
26	25	fveq2d 5702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` ( n (.g ` ℤring ) 1 ) ) = ( f ` n ) )
27		zring1 15045	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 = ( 1r ` ℤring )
28		mulgrhm.1	. . . . . . . . . . . 12 |- .1. = ( 1r ` R )
29	27, 28	rhm1 14583	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. (ℤring RingHom R ) -> ( f ` 1 ) = .1. )
30	29	ad2antlr 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` 1 ) = .1. )
31	30	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( n .x. ( f ` 1 ) ) = ( n .x. .1. ) )
32	13, 26, 31	3eqtr3d 2279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` n ) = ( n .x. .1. ) )
33	32	mpteq2dva 4223	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> ( n e. ZZ |-> ( f ` n ) ) = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) )
34	5, 33	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) )
35		mulgghm2.f	. . . . . 6 |- F = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) )
36	34, 35	eqtr4di 2289	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f = F )
37		velsn 3726	. . . . 5 |- ( f e. { F } <-> f = F )
38	36, 37	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f e. { F } )
39	38	ex 115	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( f e. (ℤring RingHom R ) -> f e. { F } ) )
40	39	ssrdv 3254	. 2 |- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) C_ { F } )
41	11, 35, 28	mulgrhm 15053	. . 3 |- ( R e. Ring -> F e. (ℤring RingHom R ) )
42	41	snssd 3860	. 2 |- ( R e. Ring -> { F } C_ (ℤring RingHom R ) )
43	40, 42	eqssd 3265	1 |- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) = { F } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3709   |-> cmpt 4193   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   1c1 8186   x. cmul 8190   ZZcz 9655   Basecbs 13410  ._gcmg 13981   GrpHom cghm 14102   1rcur 14369   Ringcrg 14407   RingHom crh 14566  ℂ_fldccnfld 15002  ℤ_ringczring 15034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-cj 11629  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-starv 13505  df-tset 13509  df-ple 13510  df-ds 13512  df-unif 13513  df-0g 13671  df-topgen 13673  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mhm 13825  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-subg 14032  df-ghm 14103  df-cmn 14179  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-cring 14410  df-rhm 14568  df-subrg 14636  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-fg 14995  df-metu 14996  df-cnfld 15003  df-zring 15035

This theorem is used by:  zrhval2  15063  zrhrhmb  15066