Theorem mulgrhm2 14098

Description: The powers of the element 1 give the unique ring homomorphism from ZZ to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	|- .x. = (.g ` R )
mulgghm2.f	|- F = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) )
mulgrhm.1	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mulgrhm2	|- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) = { F } )

Distinct variable groups:   R, n   .x. , n   .1. , n

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem mulgrhm2

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 14084	. . . . . . . . . 10 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
2		eqid 2193	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3	1, 2	rhmf 13659	. . . . . . . . 9 |- ( f e. (ℤring RingHom R ) -> f : ZZ --> ( Base ` R ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f : ZZ --> ( Base ` R ) )
5	4	feqmptd 5610	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f = ( n e. ZZ |-> ( f ` n ) ) )
6		rhmghm 13658	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. (ℤring RingHom R ) -> f e. (ℤring GrpHom R ) )
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> f e. (ℤring GrpHom R ) )
8		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
9		1zzd 9344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
10		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 |- (.g ` ℤring ) = (.g ` ℤring )
11		mulgghm2.m	. . . . . . . . . . 11 |- .x. = (.g ` R )
12	1, 10, 11	ghmmulg 13326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. (ℤring GrpHom R ) /\ n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( f ` ( n (.g ` ℤring ) 1 ) ) = ( n .x. ( f ` 1 ) ) )
13	7, 8, 9, 12	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` ( n (.g ` ℤring ) 1 ) ) = ( n .x. ( f ` 1 ) ) )
14		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
15		cnfldmulg 14064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. CC ) -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
16	14, 15	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
17		1z 9343	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
18	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
19		zringmulg 14086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℤring ) 1 ) = ( n x. 1 ) )
20	18, 19	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n (.g ` ℤring ) 1 ) )
21	17, 20	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` ℂfld ) 1 ) = ( n (.g ` ℤring ) 1 ) )
22		zcn 9322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
23	22	mulridd 8036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( n x. 1 ) = n )
24	16, 21, 23	3eqtr3d 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> ( n (.g ` ℤring ) 1 ) = n )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( n (.g ` ℤring ) 1 ) = n )
26	25	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` ( n (.g ` ℤring ) 1 ) ) = ( f ` n ) )
27		zring1 14089	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 = ( 1r ` ℤring )
28		mulgrhm.1	. . . . . . . . . . . 12 |- .1. = ( 1r ` R )
29	27, 28	rhm1 13663	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. (ℤring RingHom R ) -> ( f ` 1 ) = .1. )
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` 1 ) = .1. )
31	30	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( n .x. ( f ` 1 ) ) = ( n .x. .1. ) )
32	13, 26, 31	3eqtr3d 2234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) /\ n e. ZZ ) -> ( f ` n ) = ( n .x. .1. ) )
33	32	mpteq2dva 4119	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> ( n e. ZZ |-> ( f ` n ) ) = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) )
34	5, 33	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) )
35		mulgghm2.f	. . . . . 6 |- F = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) )
36	34, 35	eqtr4di 2244	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f = F )
37		velsn 3635	. . . . 5 |- ( f e. { F } <-> f = F )
38	36, 37	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ f e. (ℤring RingHom R ) ) -> f e. { F } )
39	38	ex 115	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( f e. (ℤring RingHom R ) -> f e. { F } ) )
40	39	ssrdv 3185	. 2 |- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) C_ { F } )
41	11, 35, 28	mulgrhm 14097	. . 3 |- ( R e. Ring -> F e. (ℤring RingHom R ) )
42	41	snssd 3763	. 2 |- ( R e. Ring -> { F } C_ (ℤring RingHom R ) )
43	40, 42	eqssd 3196	1 |- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) = { F } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {csn 3618   |-> cmpt 4090   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   1c1 7873   x. cmul 7877   ZZcz 9317   Basecbs 12618  ._gcmg 13189   GrpHom cghm 13310   1rcur 13455   Ringcrg 13492   RingHom crh 13646  ℂ_fldccnfld 14047  ℤ_ringczring 14078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-dec 9449  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-cj 10986  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-starv 12710  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mhm 13031  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-mulg 13190  df-subg 13240  df-ghm 13311  df-cmn 13356  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494  df-cring 13495  df-rhm 13648  df-subrg 13715  df-icnfld 14048  df-zring 14079

This theorem is referenced by:  zrhval2  14107  zrhrhmb  14110