Theorem rhm1 14450

Description: Ring homomorphisms are required to fix 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhm1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rhm1.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhm1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)

Proof of Theorem rhm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	rhmmhm 14442	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
5		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
6	4, 5	mhm0 13755	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
7	3, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
8		rhmrcl1 14438	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9		rhm1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10	1, 9	ringidvalg 14242	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
11	10	fveq2d 5697	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
12	8, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
13		rhmrcl2 14439	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
14		rhm1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
15	2, 14	ringidvalg 14242	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
16	13, 15	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
17	7, 12, 16	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5375  (class class class)co 6078  0_gc0g 13590   MndHom cmhm 13744  mulGrpcmgp 14197  1_rcur 14240  Ringcrg 14277   RingHom crh 14433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-map 6917  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-ltxr 8358  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-sets 13340  df-plusg 13424  df-mulr 13425  df-0g 13592  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710  df-mhm 13746  df-grp 13788  df-ghm 14024  df-mgp 14198  df-ur 14241  df-ring 14279  df-rhm 14435

This theorem is referenced by:  rhmopp  14459  elrhmunit  14460  rhmunitinv  14461  mulgrhm2  14920  zrh1  14934