Theorem rhm1 14044

Description: Ring homomorphisms are required to fix 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhm1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rhm1.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhm1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)

Proof of Theorem rhm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	rhmmhm 14036	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
4		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
5		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
6	4, 5	mhm0 13415	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
7	3, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
8		rhmrcl1 14032	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9		rhm1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10	1, 9	ringidvalg 13838	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
11	10	fveq2d 5603	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
12	8, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
13		rhmrcl2 14033	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
14		rhm1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
15	2, 14	ringidvalg 13838	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
16	13, 15	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
17	7, 12, 16	3eqtr4d 2250	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  0_gc0g 13203   MndHom cmhm 13404  mulGrpcmgp 13797  1_rcur 13836  Ringcrg 13873   RingHom crh 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-mhm 13406  df-grp 13450  df-ghm 13692  df-mgp 13798  df-ur 13837  df-ring 13875  df-rhm 14029

This theorem is referenced by:  rhmopp  14053  elrhmunit  14054  rhmunitinv  14055  mulgrhm2  14487  zrh1  14501