Theorem rhm1 14558

Description: Ring homomorphisms are required to fix 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhm1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rhm1.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhm1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)

Proof of Theorem rhm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	rhmmhm 14550	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
5		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
6	4, 5	mhm0 13828	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
7	3, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
8		rhmrcl1 14546	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9		rhm1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10	1, 9	ringidvalg 14348	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
11	10	fveq2d 5699	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
12	8, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
13		rhmrcl2 14547	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
14		rhm1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
15	2, 14	ringidvalg 14348	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
16	13, 15	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
17	7, 12, 16	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0_gc0g 13663   MndHom cmhm 13817  mulGrpcmgp 14301  1_rcur 14346  Ringcrg 14384   RingHom crh 14541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-mhm 13819  df-grp 13861  df-ghm 14097  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-ring 14386  df-rhm 14543

This theorem is used by:  rhmopp  14567  elrhmunit  14568  rhmunitinv  14569  mulgrhm2  15029  zrh1  15043