Theorem rhm1 13929

Description: Ring homomorphisms are required to fix 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhm1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rhm1.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhm1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)

Proof of Theorem rhm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2205	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	rhmmhm 13921	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
4		eqid 2205	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
5		eqid 2205	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
6	4, 5	mhm0 13300	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
7	3, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
8		rhmrcl1 13917	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9		rhm1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10	1, 9	ringidvalg 13723	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
11	10	fveq2d 5580	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
12	8, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
13		rhmrcl2 13918	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
14		rhm1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
15	2, 14	ringidvalg 13723	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
16	13, 15	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
17	7, 12, 16	3eqtr4d 2248	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  0_gc0g 13088   MndHom cmhm 13289  mulGrpcmgp 13682  1_rcur 13721  Ringcrg 13758   RingHom crh 13912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-map 6737  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-mhm 13291  df-grp 13335  df-ghm 13577  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-ring 13760  df-rhm 13914

This theorem is referenced by:  rhmopp  13938  elrhmunit  13939  rhmunitinv  13940  mulgrhm2  14372  zrh1  14386