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Theorem dfrhm2 14461
Description: The property of a ring homomorphism can be decomposed into separate homomorphic conditions for addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfrhm2 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
Distinct variable group:   s, r
Proof of Theorem dfrhm2
Dummy variables v w f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rhm 14459 . 2 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } )
2 ancom 266 . . . . . . 7 |- ( ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) )
3 r19.26-2 2680 . . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) )
43anbi1i 462 . . . . . . 7 |- ( ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) <-> ( ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) )
5 anass 405 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
62, 4, 53bitri 206 . . . . . 6 |- ( ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
76rabbii 2808 . . . . 5 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) }
8 basfn 13411 . . . . . . 7 |- Base Fn _V
9 vex 2824 . . . . . . 7 |- r e. _V
10 funfvex 5712 . . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ r e. dom Base ) -> ( Base ` r ) e. _V )
1110funfni 5483 . . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ r e. _V ) -> ( Base ` r ) e. _V )
128, 9, 11mp2an 430 . . . . . 6 |- ( Base ` r ) e. _V
13 vex 2824 . . . . . . 7 |- s e. _V
14 funfvex 5712 . . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ s e. dom Base ) -> ( Base ` s ) e. _V )
1514funfni 5483 . . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ s e. _V ) -> ( Base ` s ) e. _V )
168, 13, 15mp2an 430 . . . . . 6 |- ( Base ` s ) e. _V
17 oveq12 6094 . . . . . . . 8 |- ( ( w = ( Base ` s ) /\ v = ( Base ` r ) ) -> ( w ^m v ) = ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) )
1817ancoms 268 . . . . . . 7 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> ( w ^m v ) = ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) )
19 raleq 2749 . . . . . . . . . 10 |- ( v = ( Base ` r ) -> ( A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
2019raleqbi1dv 2761 . . . . . . . . 9 |- ( v = ( Base ` r ) -> ( A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
2120adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> ( A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
2221anbi2d 468 . . . . . . 7 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> ( ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) ) )
2318, 22rabeqbidv 2816 . . . . . 6 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } )
2412, 16, 23csbie2 3197 . . . . 5 |- [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) }
25 inrab 3505 . . . . 5 |- ( { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } i^i { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } ) = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) }
267, 24, 253eqtr4i 2269 . . . 4 |- [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = ( { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } i^i { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } )
27 ringgrp 14305 . . . . . . . 8 |- ( r e. Ring -> r e. Grp )
28 ringgrp 14305 . . . . . . . 8 |- ( s e. Ring -> s e. Grp )
29 eqid 2238 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` r ) = ( Base ` r )
30 eqid 2238 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` s ) = ( Base ` s )
31 eqid 2238 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` r ) = ( +g ` r )
32 eqid 2238 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` s ) = ( +g ` s )
3329, 30, 31, 32isghm3 14047 . . . . . . . 8 |- ( ( r e. Grp /\ s e. Grp ) -> ( f e. ( r GrpHom s ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
3427, 28, 33syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( f e. ( r GrpHom s ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
3534eqabdv 2369 . . . . . 6 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( r GrpHom s ) = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) } )
36 df-rab 2537 . . . . . . 7 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } = { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) }
3716, 12elmap 6958 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) <-> f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) )
3837anbi1i 462 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) )
3938abbii 2354 . . . . . . 7 |- { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) }
4036, 39eqtri 2259 . . . . . 6 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) }
4135, 40eqtr4di 2289 . . . . 5 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( r GrpHom s ) = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } )
42 eqid 2238 . . . . . . . . 9 |- (mulGrp ` r ) = (mulGrp ` r )
4342ringmgp 14306 . . . . . . . 8 |- ( r e. Ring -> (mulGrp ` r ) e. Mnd )
44 eqid 2238 . . . . . . . . 9 |- (mulGrp ` s ) = (mulGrp ` s )
4544ringmgp 14306 . . . . . . . 8 |- ( s e. Ring -> (mulGrp ` s ) e. Mnd )
4642, 29mgpbasg 14224 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> ( Base ` r ) = ( Base ` (mulGrp ` r ) ) )
4746elv 2825 . . . . . . . . . 10 |- ( Base ` r ) = ( Base ` (mulGrp ` r ) )
4844, 30mgpbasg 14224 . . . . . . . . . . 11 |- ( s e. _V -> ( Base ` s ) = ( Base ` (mulGrp ` s ) ) )
4948elv 2825 . . . . . . . . . 10 |- ( Base ` s ) = ( Base ` (mulGrp ` s ) )
50 eqid 2238 . . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` r ) = ( .r ` r )
5142, 50mgpplusgg 14221 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> ( .r ` r ) = ( +g ` (mulGrp ` r ) ) )
5251elv 2825 . . . . . . . . . 10 |- ( .r ` r ) = ( +g ` (mulGrp ` r ) )
53 eqid 2238 . . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` s ) = ( .r ` s )
5444, 53mgpplusgg 14221 . . . . . . . . . . 11 |- ( s e. _V -> ( .r ` s ) = ( +g ` (mulGrp ` s ) ) )
5554elv 2825 . . . . . . . . . 10 |- ( .r ` s ) = ( +g ` (mulGrp ` s ) )
56 eqid 2238 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1r ` r ) = ( 1r ` r )
5742, 56ringidvalg 14264 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> ( 1r ` r ) = ( 0g ` (mulGrp ` r ) ) )
5857elv 2825 . . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` r ) = ( 0g ` (mulGrp ` r ) )
59 eqid 2238 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1r ` s ) = ( 1r ` s )
6044, 59ringidvalg 14264 . . . . . . . . . . 11 |- ( s e. _V -> ( 1r ` s ) = ( 0g ` (mulGrp ` s ) ) )
6160elv 2825 . . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` s ) = ( 0g ` (mulGrp ` s ) )
6247, 49, 52, 55, 58, 61ismhm 13768 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) <-> ( ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ (mulGrp ` s ) e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6362baib 931 . . . . . . . 8 |- ( ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ (mulGrp ` s ) e. Mnd ) -> ( f e. ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6443, 45, 63syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( f e. ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6564eqabdv 2369 . . . . . 6 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } )
66 df-rab 2537 . . . . . . 7 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } = { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) }
6737anbi1i 462 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
68 3anass 1013 . . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6967, 68bitr4i 187 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) )
7069abbii 2354 . . . . . . 7 |- { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) }
7166, 70eqtri 2259 . . . . . 6 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) }
7265, 71eqtr4di 2289 . . . . 5 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } )
7341, 72ineq12d 3433 . . . 4 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) = ( { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } i^i { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } ) )
7426, 73eqtr4id 2290 . . 3 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
7574mpoeq3ia 6153 . 2 |- ( r e. Ring , s e. Ring |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } ) = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
761, 75eqtri 2259 1 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   [_csb 3147   i^i cin 3219   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087   ^m cmap 6922   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   .rcmulr 13432   0gc0g 13610   Mndcmnd 13729   MndHom cmhm 13764   Grpcgrp 13805   GrpHom cghm 14043  mulGrpcmgp 14217   1rcur 14262   Ringcrg 14300   RingHom crh 14457
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-mhm 13766  df-ghm 14044  df-mgp 14218  df-ur 14263  df-ring 14302  df-rhm 14459
This theorem is used by:  rhmrcl1  14462  rhmrcl2  14463  isrhm  14465  rhmfn  14479  rhmval  14480
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