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Theorem dfrhm2 13949
Description: The property of a ring homomorphism can be decomposed into separate homomorphic conditions for addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfrhm2 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
Distinct variable group:   s, r
Proof of Theorem dfrhm2
Dummy variables v w f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rhm 13947 . 2 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } )
2 ancom 266 . . . . . . 7 |- ( ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) )
3 r19.26-2 2635 . . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) )
43anbi1i 458 . . . . . . 7 |- ( ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) <-> ( ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) )
5 anass 401 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
62, 4, 53bitri 206 . . . . . 6 |- ( ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
76rabbii 2758 . . . . 5 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) }
8 basfn 12923 . . . . . . 7 |- Base Fn _V
9 vex 2775 . . . . . . 7 |- r e. _V
10 funfvex 5595 . . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ r e. dom Base ) -> ( Base ` r ) e. _V )
1110funfni 5377 . . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ r e. _V ) -> ( Base ` r ) e. _V )
128, 9, 11mp2an 426 . . . . . 6 |- ( Base ` r ) e. _V
13 vex 2775 . . . . . . 7 |- s e. _V
14 funfvex 5595 . . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ s e. dom Base ) -> ( Base ` s ) e. _V )
1514funfni 5377 . . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ s e. _V ) -> ( Base ` s ) e. _V )
168, 13, 15mp2an 426 . . . . . 6 |- ( Base ` s ) e. _V
17 oveq12 5955 . . . . . . . 8 |- ( ( w = ( Base ` s ) /\ v = ( Base ` r ) ) -> ( w ^m v ) = ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) )
1817ancoms 268 . . . . . . 7 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> ( w ^m v ) = ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) )
19 raleq 2702 . . . . . . . . . 10 |- ( v = ( Base ` r ) -> ( A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
2019raleqbi1dv 2714 . . . . . . . . 9 |- ( v = ( Base ` r ) -> ( A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
2120adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> ( A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
2221anbi2d 464 . . . . . . 7 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> ( ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) ) )
2318, 22rabeqbidv 2767 . . . . . 6 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } )
2412, 16, 23csbie2 3143 . . . . 5 |- [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) }
25 inrab 3445 . . . . 5 |- ( { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } i^i { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } ) = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) }
267, 24, 253eqtr4i 2236 . . . 4 |- [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = ( { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } i^i { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } )
27 ringgrp 13796 . . . . . . . 8 |- ( r e. Ring -> r e. Grp )
28 ringgrp 13796 . . . . . . . 8 |- ( s e. Ring -> s e. Grp )
29 eqid 2205 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` r ) = ( Base ` r )
30 eqid 2205 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` s ) = ( Base ` s )
31 eqid 2205 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` r ) = ( +g ` r )
32 eqid 2205 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` s ) = ( +g ` s )
3329, 30, 31, 32isghm3 13613 . . . . . . . 8 |- ( ( r e. Grp /\ s e. Grp ) -> ( f e. ( r GrpHom s ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
3427, 28, 33syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( f e. ( r GrpHom s ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
3534eqabdv 2334 . . . . . 6 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( r GrpHom s ) = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) } )
36 df-rab 2493 . . . . . . 7 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } = { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) }
3716, 12elmap 6766 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) <-> f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) )
3837anbi1i 458 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) )
3938abbii 2321 . . . . . . 7 |- { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) }
4036, 39eqtri 2226 . . . . . 6 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) }
4135, 40eqtr4di 2256 . . . . 5 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( r GrpHom s ) = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } )
42 eqid 2205 . . . . . . . . 9 |- (mulGrp ` r ) = (mulGrp ` r )
4342ringmgp 13797 . . . . . . . 8 |- ( r e. Ring -> (mulGrp ` r ) e. Mnd )
44 eqid 2205 . . . . . . . . 9 |- (mulGrp ` s ) = (mulGrp ` s )
4544ringmgp 13797 . . . . . . . 8 |- ( s e. Ring -> (mulGrp ` s ) e. Mnd )
4642, 29mgpbasg 13721 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> ( Base ` r ) = ( Base ` (mulGrp ` r ) ) )
4746elv 2776 . . . . . . . . . 10 |- ( Base ` r ) = ( Base ` (mulGrp ` r ) )
4844, 30mgpbasg 13721 . . . . . . . . . . 11 |- ( s e. _V -> ( Base ` s ) = ( Base ` (mulGrp ` s ) ) )
4948elv 2776 . . . . . . . . . 10 |- ( Base ` s ) = ( Base ` (mulGrp ` s ) )
50 eqid 2205 . . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` r ) = ( .r ` r )
5142, 50mgpplusgg 13719 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> ( .r ` r ) = ( +g ` (mulGrp ` r ) ) )
5251elv 2776 . . . . . . . . . 10 |- ( .r ` r ) = ( +g ` (mulGrp ` r ) )
53 eqid 2205 . . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` s ) = ( .r ` s )
5444, 53mgpplusgg 13719 . . . . . . . . . . 11 |- ( s e. _V -> ( .r ` s ) = ( +g ` (mulGrp ` s ) ) )
5554elv 2776 . . . . . . . . . 10 |- ( .r ` s ) = ( +g ` (mulGrp ` s ) )
56 eqid 2205 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1r ` r ) = ( 1r ` r )
5742, 56ringidvalg 13756 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> ( 1r ` r ) = ( 0g ` (mulGrp ` r ) ) )
5857elv 2776 . . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` r ) = ( 0g ` (mulGrp ` r ) )
59 eqid 2205 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1r ` s ) = ( 1r ` s )
6044, 59ringidvalg 13756 . . . . . . . . . . 11 |- ( s e. _V -> ( 1r ` s ) = ( 0g ` (mulGrp ` s ) ) )
6160elv 2776 . . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` s ) = ( 0g ` (mulGrp ` s ) )
6247, 49, 52, 55, 58, 61ismhm 13326 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) <-> ( ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ (mulGrp ` s ) e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6362baib 921 . . . . . . . 8 |- ( ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ (mulGrp ` s ) e. Mnd ) -> ( f e. ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6443, 45, 63syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( f e. ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6564eqabdv 2334 . . . . . 6 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } )
66 df-rab 2493 . . . . . . 7 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } = { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) }
6737anbi1i 458 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
68 3anass 985 . . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6967, 68bitr4i 187 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) )
7069abbii 2321 . . . . . . 7 |- { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) }
7166, 70eqtri 2226 . . . . . 6 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) }
7265, 71eqtr4di 2256 . . . . 5 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } )
7341, 72ineq12d 3375 . . . 4 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) = ( { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } i^i { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } ) )
7426, 73eqtr4id 2257 . . 3 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
7574mpoeq3ia 6012 . 2 |- ( r e. Ring , s e. Ring |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } ) = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
761, 75eqtri 2226 1 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   {cab 2191   A.wral 2484   {crab 2488   _Vcvv 2772   [_csb 3093   i^i cin 3165   Fn wfn 5267   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   e. cmpo 5948   ^m cmap 6737   Basecbs 12865   +g cplusg 12942   .rcmulr 12943   0gc0g 13121   Mndcmnd 13281   MndHom cmhm 13322   Grpcgrp 13365   GrpHom cghm 13609  mulGrpcmgp 13715   1rcur 13754   Ringcrg 13791   RingHom crh 13945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltadd 8043
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-map 6739  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-sets 12872  df-plusg 12955  df-mulr 12956  df-mhm 13324  df-ghm 13610  df-mgp 13716  df-ur 13755  df-ring 13793  df-rhm 13947
This theorem is referenced by:  rhmrcl1  13950  rhmrcl2  13951  isrhm  13953  rhmfn  13967  rhmval  13968
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