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Theorem dfrhm2 13710
Description: The property of a ring homomorphism can be decomposed into separate homomorphic conditions for addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfrhm2 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
Distinct variable group:   s, r
Proof of Theorem dfrhm2
Dummy variables v w f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rhm 13708 . 2 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } )
2 ancom 266 . . . . . . 7 |- ( ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) )
3 r19.26-2 2626 . . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) )
43anbi1i 458 . . . . . . 7 |- ( ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) <-> ( ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) )
5 anass 401 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
62, 4, 53bitri 206 . . . . . 6 |- ( ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
76rabbii 2749 . . . . 5 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) }
8 basfn 12736 . . . . . . 7 |- Base Fn _V
9 vex 2766 . . . . . . 7 |- r e. _V
10 funfvex 5575 . . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ r e. dom Base ) -> ( Base ` r ) e. _V )
1110funfni 5358 . . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ r e. _V ) -> ( Base ` r ) e. _V )
128, 9, 11mp2an 426 . . . . . 6 |- ( Base ` r ) e. _V
13 vex 2766 . . . . . . 7 |- s e. _V
14 funfvex 5575 . . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ s e. dom Base ) -> ( Base ` s ) e. _V )
1514funfni 5358 . . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ s e. _V ) -> ( Base ` s ) e. _V )
168, 13, 15mp2an 426 . . . . . 6 |- ( Base ` s ) e. _V
17 oveq12 5931 . . . . . . . 8 |- ( ( w = ( Base ` s ) /\ v = ( Base ` r ) ) -> ( w ^m v ) = ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) )
1817ancoms 268 . . . . . . 7 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> ( w ^m v ) = ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) )
19 raleq 2693 . . . . . . . . . 10 |- ( v = ( Base ` r ) -> ( A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
2019raleqbi1dv 2705 . . . . . . . . 9 |- ( v = ( Base ` r ) -> ( A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
2120adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> ( A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
2221anbi2d 464 . . . . . . 7 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> ( ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) ) )
2318, 22rabeqbidv 2758 . . . . . 6 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } )
2412, 16, 23csbie2 3134 . . . . 5 |- [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) }
25 inrab 3435 . . . . 5 |- ( { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } i^i { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } ) = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) }
267, 24, 253eqtr4i 2227 . . . 4 |- [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = ( { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } i^i { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } )
27 ringgrp 13557 . . . . . . . 8 |- ( r e. Ring -> r e. Grp )
28 ringgrp 13557 . . . . . . . 8 |- ( s e. Ring -> s e. Grp )
29 eqid 2196 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` r ) = ( Base ` r )
30 eqid 2196 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` s ) = ( Base ` s )
31 eqid 2196 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` r ) = ( +g ` r )
32 eqid 2196 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` s ) = ( +g ` s )
3329, 30, 31, 32isghm3 13374 . . . . . . . 8 |- ( ( r e. Grp /\ s e. Grp ) -> ( f e. ( r GrpHom s ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
3427, 28, 33syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( f e. ( r GrpHom s ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
3534eqabdv 2325 . . . . . 6 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( r GrpHom s ) = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) } )
36 df-rab 2484 . . . . . . 7 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } = { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) }
3716, 12elmap 6736 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) <-> f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) )
3837anbi1i 458 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) )
3938abbii 2312 . . . . . . 7 |- { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) }
4036, 39eqtri 2217 . . . . . 6 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) }
4135, 40eqtr4di 2247 . . . . 5 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( r GrpHom s ) = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } )
42 eqid 2196 . . . . . . . . 9 |- (mulGrp ` r ) = (mulGrp ` r )
4342ringmgp 13558 . . . . . . . 8 |- ( r e. Ring -> (mulGrp ` r ) e. Mnd )
44 eqid 2196 . . . . . . . . 9 |- (mulGrp ` s ) = (mulGrp ` s )
4544ringmgp 13558 . . . . . . . 8 |- ( s e. Ring -> (mulGrp ` s ) e. Mnd )
4642, 29mgpbasg 13482 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> ( Base ` r ) = ( Base ` (mulGrp ` r ) ) )
4746elv 2767 . . . . . . . . . 10 |- ( Base ` r ) = ( Base ` (mulGrp ` r ) )
4844, 30mgpbasg 13482 . . . . . . . . . . 11 |- ( s e. _V -> ( Base ` s ) = ( Base ` (mulGrp ` s ) ) )
4948elv 2767 . . . . . . . . . 10 |- ( Base ` s ) = ( Base ` (mulGrp ` s ) )
50 eqid 2196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` r ) = ( .r ` r )
5142, 50mgpplusgg 13480 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> ( .r ` r ) = ( +g ` (mulGrp ` r ) ) )
5251elv 2767 . . . . . . . . . 10 |- ( .r ` r ) = ( +g ` (mulGrp ` r ) )
53 eqid 2196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` s ) = ( .r ` s )
5444, 53mgpplusgg 13480 . . . . . . . . . . 11 |- ( s e. _V -> ( .r ` s ) = ( +g ` (mulGrp ` s ) ) )
5554elv 2767 . . . . . . . . . 10 |- ( .r ` s ) = ( +g ` (mulGrp ` s ) )
56 eqid 2196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1r ` r ) = ( 1r ` r )
5742, 56ringidvalg 13517 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> ( 1r ` r ) = ( 0g ` (mulGrp ` r ) ) )
5857elv 2767 . . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` r ) = ( 0g ` (mulGrp ` r ) )
59 eqid 2196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1r ` s ) = ( 1r ` s )
6044, 59ringidvalg 13517 . . . . . . . . . . 11 |- ( s e. _V -> ( 1r ` s ) = ( 0g ` (mulGrp ` s ) ) )
6160elv 2767 . . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` s ) = ( 0g ` (mulGrp ` s ) )
6247, 49, 52, 55, 58, 61ismhm 13093 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) <-> ( ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ (mulGrp ` s ) e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6362baib 920 . . . . . . . 8 |- ( ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ (mulGrp ` s ) e. Mnd ) -> ( f e. ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6443, 45, 63syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( f e. ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6564eqabdv 2325 . . . . . 6 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } )
66 df-rab 2484 . . . . . . 7 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } = { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) }
6737anbi1i 458 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
68 3anass 984 . . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6967, 68bitr4i 187 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) )
7069abbii 2312 . . . . . . 7 |- { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) }
7166, 70eqtri 2217 . . . . . 6 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) }
7265, 71eqtr4di 2247 . . . . 5 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } )
7341, 72ineq12d 3365 . . . 4 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) = ( { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } i^i { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } ) )
7426, 73eqtr4id 2248 . . 3 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
7574mpoeq3ia 5987 . 2 |- ( r e. Ring , s e. Ring |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } ) = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
761, 75eqtri 2217 1 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   [_csb 3084   i^i cin 3156   Fn wfn 5253   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   ^m cmap 6707   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   .rcmulr 12756   0gc0g 12927   Mndcmnd 13057   MndHom cmhm 13089   Grpcgrp 13132   GrpHom cghm 13370  mulGrpcmgp 13476   1rcur 13515   Ringcrg 13552   RingHom crh 13706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-mhm 13091  df-ghm 13371  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-rhm 13708
This theorem is referenced by:  rhmrcl1  13711  rhmrcl2  13712  isrhm  13714  rhmfn  13728  rhmval  13729
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