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Theorem dfrhm2 14134
Description: The property of a ring homomorphism can be decomposed into separate homomorphic conditions for addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfrhm2 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
Distinct variable group:   s, r
Proof of Theorem dfrhm2
Dummy variables v w f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rhm 14132 . 2 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } )
2 ancom 266 . . . . . . 7 |- ( ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) )
3 r19.26-2 2660 . . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) )
43anbi1i 458 . . . . . . 7 |- ( ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) <-> ( ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) )
5 anass 401 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
62, 4, 53bitri 206 . . . . . 6 |- ( ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
76rabbii 2785 . . . . 5 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) }
8 basfn 13107 . . . . . . 7 |- Base Fn _V
9 vex 2802 . . . . . . 7 |- r e. _V
10 funfvex 5646 . . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ r e. dom Base ) -> ( Base ` r ) e. _V )
1110funfni 5423 . . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ r e. _V ) -> ( Base ` r ) e. _V )
128, 9, 11mp2an 426 . . . . . 6 |- ( Base ` r ) e. _V
13 vex 2802 . . . . . . 7 |- s e. _V
14 funfvex 5646 . . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ s e. dom Base ) -> ( Base ` s ) e. _V )
1514funfni 5423 . . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ s e. _V ) -> ( Base ` s ) e. _V )
168, 13, 15mp2an 426 . . . . . 6 |- ( Base ` s ) e. _V
17 oveq12 6016 . . . . . . . 8 |- ( ( w = ( Base ` s ) /\ v = ( Base ` r ) ) -> ( w ^m v ) = ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) )
1817ancoms 268 . . . . . . 7 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> ( w ^m v ) = ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) )
19 raleq 2728 . . . . . . . . . 10 |- ( v = ( Base ` r ) -> ( A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
2019raleqbi1dv 2740 . . . . . . . . 9 |- ( v = ( Base ` r ) -> ( A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
2120adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> ( A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
2221anbi2d 464 . . . . . . 7 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> ( ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) ) )
2318, 22rabeqbidv 2794 . . . . . 6 |- ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } )
2412, 16, 23csbie2 3174 . . . . 5 |- [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) }
25 inrab 3476 . . . . 5 |- ( { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } i^i { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } ) = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) }
267, 24, 253eqtr4i 2260 . . . 4 |- [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = ( { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } i^i { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } )
27 ringgrp 13980 . . . . . . . 8 |- ( r e. Ring -> r e. Grp )
28 ringgrp 13980 . . . . . . . 8 |- ( s e. Ring -> s e. Grp )
29 eqid 2229 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` r ) = ( Base ` r )
30 eqid 2229 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` s ) = ( Base ` s )
31 eqid 2229 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` r ) = ( +g ` r )
32 eqid 2229 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` s ) = ( +g ` s )
3329, 30, 31, 32isghm3 13797 . . . . . . . 8 |- ( ( r e. Grp /\ s e. Grp ) -> ( f e. ( r GrpHom s ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
3427, 28, 33syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( f e. ( r GrpHom s ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
3534eqabdv 2358 . . . . . 6 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( r GrpHom s ) = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) } )
36 df-rab 2517 . . . . . . 7 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } = { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) }
3716, 12elmap 6832 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) <-> f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) )
3837anbi1i 458 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) )
3938abbii 2345 . . . . . . 7 |- { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) }
4036, 39eqtri 2250 . . . . . 6 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) }
4135, 40eqtr4di 2280 . . . . 5 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( r GrpHom s ) = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } )
42 eqid 2229 . . . . . . . . 9 |- (mulGrp ` r ) = (mulGrp ` r )
4342ringmgp 13981 . . . . . . . 8 |- ( r e. Ring -> (mulGrp ` r ) e. Mnd )
44 eqid 2229 . . . . . . . . 9 |- (mulGrp ` s ) = (mulGrp ` s )
4544ringmgp 13981 . . . . . . . 8 |- ( s e. Ring -> (mulGrp ` s ) e. Mnd )
4642, 29mgpbasg 13905 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> ( Base ` r ) = ( Base ` (mulGrp ` r ) ) )
4746elv 2803 . . . . . . . . . 10 |- ( Base ` r ) = ( Base ` (mulGrp ` r ) )
4844, 30mgpbasg 13905 . . . . . . . . . . 11 |- ( s e. _V -> ( Base ` s ) = ( Base ` (mulGrp ` s ) ) )
4948elv 2803 . . . . . . . . . 10 |- ( Base ` s ) = ( Base ` (mulGrp ` s ) )
50 eqid 2229 . . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` r ) = ( .r ` r )
5142, 50mgpplusgg 13903 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> ( .r ` r ) = ( +g ` (mulGrp ` r ) ) )
5251elv 2803 . . . . . . . . . 10 |- ( .r ` r ) = ( +g ` (mulGrp ` r ) )
53 eqid 2229 . . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` s ) = ( .r ` s )
5444, 53mgpplusgg 13903 . . . . . . . . . . 11 |- ( s e. _V -> ( .r ` s ) = ( +g ` (mulGrp ` s ) ) )
5554elv 2803 . . . . . . . . . 10 |- ( .r ` s ) = ( +g ` (mulGrp ` s ) )
56 eqid 2229 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1r ` r ) = ( 1r ` r )
5742, 56ringidvalg 13940 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> ( 1r ` r ) = ( 0g ` (mulGrp ` r ) ) )
5857elv 2803 . . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` r ) = ( 0g ` (mulGrp ` r ) )
59 eqid 2229 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1r ` s ) = ( 1r ` s )
6044, 59ringidvalg 13940 . . . . . . . . . . 11 |- ( s e. _V -> ( 1r ` s ) = ( 0g ` (mulGrp ` s ) ) )
6160elv 2803 . . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` s ) = ( 0g ` (mulGrp ` s ) )
6247, 49, 52, 55, 58, 61ismhm 13510 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) <-> ( ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ (mulGrp ` s ) e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6362baib 924 . . . . . . . 8 |- ( ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ (mulGrp ` s ) e. Mnd ) -> ( f e. ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6443, 45, 63syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( f e. ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6564eqabdv 2358 . . . . . 6 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } )
66 df-rab 2517 . . . . . . 7 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } = { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) }
6737anbi1i 458 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
68 3anass 1006 . . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6967, 68bitr4i 187 . . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) )
7069abbii 2345 . . . . . . 7 |- { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) }
7166, 70eqtri 2250 . . . . . 6 |- { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) }
7265, 71eqtr4di 2280 . . . . 5 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } )
7341, 72ineq12d 3406 . . . 4 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) = ( { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } i^i { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } ) )
7426, 73eqtr4id 2281 . . 3 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
7574mpoeq3ia 6075 . 2 |- ( r e. Ring , s e. Ring |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } ) = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
761, 75eqtri 2250 1 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   [_csb 3124   i^i cin 3196   Fn wfn 5313   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   e. cmpo 6009   ^m cmap 6803   Basecbs 13048   +g cplusg 13126   .rcmulr 13127   0gc0g 13305   Mndcmnd 13465   MndHom cmhm 13506   Grpcgrp 13549   GrpHom cghm 13793  mulGrpcmgp 13899   1rcur 13938   Ringcrg 13975   RingHom crh 14130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltadd 8126
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-sets 13055  df-plusg 13139  df-mulr 13140  df-mhm 13508  df-ghm 13794  df-mgp 13900  df-ur 13939  df-ring 13977  df-rhm 14132
This theorem is referenced by:  rhmrcl1  14135  rhmrcl2  14136  isrhm  14138  rhmfn  14152  rhmval  14153
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