Theorem rrgnz 14100

Description: In a nonzero ring, the zero is a left zero divisor (that is, not a left-regular element). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgnz.t	|- E = (RLReg ` R )
rrgnz.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
rrgnz	|- ( R e. NzRing -> -. .0. e. E )

Proof of Theorem rrgnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
2		rrgnz.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
3	1, 2	nzrnz 14014	. . 3 |- ( R e. NzRing -> ( 1r ` R ) =/= .0. )
4	3	neneqd 2398	. 2 |- ( R e. NzRing -> -. ( 1r ` R ) = .0. )
5		nzrring 14015	. . . 4 |- ( R e. NzRing -> R e. Ring )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> R e. Ring )
7		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> .0. e. E )
8		eqid 2206	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
9	8, 1	ringidcl 13852	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
10	6, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
11		eqid 2206	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
12	8, 11, 2, 6, 10	ringlzd 13877	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. )
13		rrgnz.t	. . . . 5 |- E = (RLReg ` R )
14	13, 8, 11, 2	rrgeq0 14097	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ .0. e. E /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( .0. ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. <-> ( 1r ` R ) = .0. ) )
15	14	biimpa 296	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ .0. e. E /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) /\ ( .0. ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. ) -> ( 1r ` R ) = .0. )
16	6, 7, 10, 12, 15	syl31anc 1253	. 2 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> ( 1r ` R ) = .0. )
17	4, 16	mtand 667	1 |- ( R e. NzRing -> -. .0. e. E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   Basecbs 12902   .rcmulr 12980   0gc0g 13158   1rcur 13791   Ringcrg 13828  NzRingcnzr 14011  RLRegcrlreg 14087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-ltxr 8127  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-sets 12909  df-plusg 12992  df-mulr 12993  df-0g 13160  df-mgm 13258  df-sgrp 13304  df-mnd 13319  df-grp 13405  df-minusg 13406  df-mgp 13753  df-ur 13792  df-ring 13830  df-nzr 14012  df-rlreg 14090

This theorem is referenced by: (None)