Theorem rrgnz 13834

Description: In a nonzero ring, the zero is a left zero divisor (that is, not a left-regular element). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgnz.t	|- E = (RLReg ` R )
rrgnz.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
rrgnz	|- ( R e. NzRing -> -. .0. e. E )

Proof of Theorem rrgnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
2		rrgnz.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
3	1, 2	nzrnz 13748	. . 3 |- ( R e. NzRing -> ( 1r ` R ) =/= .0. )
4	3	neneqd 2388	. 2 |- ( R e. NzRing -> -. ( 1r ` R ) = .0. )
5		nzrring 13749	. . . 4 |- ( R e. NzRing -> R e. Ring )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> R e. Ring )
7		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> .0. e. E )
8		eqid 2196	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
9	8, 1	ringidcl 13586	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
10	6, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
11		eqid 2196	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
12	8, 11, 2, 6, 10	ringlzd 13611	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. )
13		rrgnz.t	. . . . 5 |- E = (RLReg ` R )
14	13, 8, 11, 2	rrgeq0 13831	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ .0. e. E /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( .0. ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. <-> ( 1r ` R ) = .0. ) )
15	14	biimpa 296	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ .0. e. E /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) /\ ( .0. ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. ) -> ( 1r ` R ) = .0. )
16	6, 7, 10, 12, 15	syl31anc 1252	. 2 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> ( 1r ` R ) = .0. )
17	4, 16	mtand 666	1 |- ( R e. NzRing -> -. .0. e. E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   Basecbs 12688   .rcmulr 12766   0gc0g 12937   1rcur 13525   Ringcrg 13562  NzRingcnzr 13745  RLRegcrlreg 13821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-ltxr 8068  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-sets 12695  df-plusg 12778  df-mulr 12779  df-0g 12939  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-grp 13145  df-minusg 13146  df-mgp 13487  df-ur 13526  df-ring 13564  df-nzr 13746  df-rlreg 13824

This theorem is referenced by: (None)