Theorem rrgnz 14217

Description: In a nonzero ring, the zero is a left zero divisor (that is, not a left-regular element). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgnz.t	|- E = (RLReg ` R )
rrgnz.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
rrgnz	|- ( R e. NzRing -> -. .0. e. E )

Proof of Theorem rrgnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
2		rrgnz.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
3	1, 2	nzrnz 14131	. . 3 |- ( R e. NzRing -> ( 1r ` R ) =/= .0. )
4	3	neneqd 2421	. 2 |- ( R e. NzRing -> -. ( 1r ` R ) = .0. )
5		nzrring 14132	. . . 4 |- ( R e. NzRing -> R e. Ring )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> R e. Ring )
7		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> .0. e. E )
8		eqid 2229	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
9	8, 1	ringidcl 13969	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
10	6, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
11		eqid 2229	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
12	8, 11, 2, 6, 10	ringlzd 13994	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. )
13		rrgnz.t	. . . . 5 |- E = (RLReg ` R )
14	13, 8, 11, 2	rrgeq0 14214	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ .0. e. E /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( .0. ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. <-> ( 1r ` R ) = .0. ) )
15	14	biimpa 296	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ .0. e. E /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) /\ ( .0. ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. ) -> ( 1r ` R ) = .0. )
16	6, 7, 10, 12, 15	syl31anc 1274	. 2 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> ( 1r ` R ) = .0. )
17	4, 16	mtand 669	1 |- ( R e. NzRing -> -. .0. e. E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   Basecbs 13018   .rcmulr 13097   0gc0g 13275   1rcur 13908   Ringcrg 13945  NzRingcnzr 14128  RLRegcrlreg 14204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-ltxr 8174  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-sets 13025  df-plusg 13109  df-mulr 13110  df-0g 13277  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-grp 13522  df-minusg 13523  df-mgp 13870  df-ur 13909  df-ring 13947  df-nzr 14129  df-rlreg 14207

This theorem is referenced by: (None)