Theorem rrgnz 14288

Description: In a nonzero ring, the zero is a left zero divisor (that is, not a left-regular element). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgnz.t	|- E = (RLReg ` R )
rrgnz.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
rrgnz	|- ( R e. NzRing -> -. .0. e. E )

Proof of Theorem rrgnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
2		rrgnz.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
3	1, 2	nzrnz 14202	. . 3 |- ( R e. NzRing -> ( 1r ` R ) =/= .0. )
4	3	neneqd 2423	. 2 |- ( R e. NzRing -> -. ( 1r ` R ) = .0. )
5		nzrring 14203	. . . 4 |- ( R e. NzRing -> R e. Ring )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> R e. Ring )
7		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> .0. e. E )
8		eqid 2231	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
9	8, 1	ringidcl 14039	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
10	6, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
11		eqid 2231	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
12	8, 11, 2, 6, 10	ringlzd 14064	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. )
13		rrgnz.t	. . . . 5 |- E = (RLReg ` R )
14	13, 8, 11, 2	rrgeq0 14285	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ .0. e. E /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( .0. ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. <-> ( 1r ` R ) = .0. ) )
15	14	biimpa 296	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ .0. e. E /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) /\ ( .0. ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. ) -> ( 1r ` R ) = .0. )
16	6, 7, 10, 12, 15	syl31anc 1276	. 2 |- ( ( R e. NzRing /\ .0. e. E ) -> ( 1r ` R ) = .0. )
17	4, 16	mtand 671	1 |- ( R e. NzRing -> -. .0. e. E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13087   .rcmulr 13166   0gc0g 13344   1rcur 13978   Ringcrg 14015  NzRingcnzr 14199  RLRegcrlreg 14275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-minusg 13592  df-mgp 13940  df-ur 13979  df-ring 14017  df-nzr 14200  df-rlreg 14278

This theorem is referenced by: (None)