ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rrgnz Unicode version

Theorem rrgnz 13748
Description: In a nonzero ring, the zero is a left zero divisor (that is, not a left-regular element). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgnz.t  |-  E  =  (RLReg `  R )
rrgnz.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
rrgnz  |-  ( R  e. NzRing  ->  -.  .0.  e.  E )

Proof of Theorem rrgnz
StepHypRef Expression
1 eqid 2193 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2 rrgnz.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
31, 2nzrnz 13662 . . 3  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  =/=  .0.  )
43neneqd 2385 . 2  |-  ( R  e. NzRing  ->  -.  ( 1r `  R )  =  .0.  )
5 nzrring 13663 . . . 4  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
65adantr 276 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  .0.  e.  E )  ->  R  e.  Ring )
7 simpr 110 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  .0.  e.  E )  ->  .0.  e.  E )
8 eqid 2193 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
98, 1ringidcl 13500 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
106, 9syl 14 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  .0.  e.  E )  ->  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )
11 eqid 2193 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
128, 11, 2, 6, 10ringlzd 13525 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  .0.  e.  E )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( 1r `  R ) )  =  .0.  )
13 rrgnz.t . . . . 5  |-  E  =  (RLReg `  R )
1413, 8, 11, 2rrgeq0 13745 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  E  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(  .0.  ( .r
`  R ) ( 1r `  R ) )  =  .0.  <->  ( 1r `  R )  =  .0.  ) )
1514biimpa 296 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  E  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )  /\  (  .0.  ( .r `  R
) ( 1r `  R ) )  =  .0.  )  ->  ( 1r `  R )  =  .0.  )
166, 7, 10, 12, 15syl31anc 1252 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  .0.  e.  E )  ->  ( 1r `  R )  =  .0.  )
174, 16mtand 666 1  |-  ( R  e. NzRing  ->  -.  .0.  e.  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2164   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   Basecbs 12608   .rcmulr 12686   0gc0g 12857   1rcur 13439   Ringcrg 13476  NzRingcnzr 13659  RLRegcrlreg 13735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltadd 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-ltxr 8049  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-sets 12615  df-plusg 12698  df-mulr 12699  df-0g 12859  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988  df-grp 13065  df-minusg 13066  df-mgp 13401  df-ur 13440  df-ring 13478  df-nzr 13660  df-rlreg 13738
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator