ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rrgeq0 GIF version

Theorem rrgeq0 13745
Description: Left-multiplication by a left regular element does not change zeroness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrgval.t · = (.r𝑅)
rrgval.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
rrgeq0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))

Proof of Theorem rrgeq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgval.e . . . 4 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
2 rrgval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rrgval.t . . . 4 · = (.r𝑅)
4 rrgval.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
51, 2, 3, 4rrgeq0i 13744 . . 3 ((𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
653adant1 1017 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
7 simp1 999 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
81, 2, 3, 4rrgval 13742 . . . . . 6 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ∀𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0𝑦 = 0 )}
98ssrab3 3265 . . . . 5 𝐸𝐵
10 simp2 1000 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → 𝑋𝐸)
119, 10sselid 3177 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
122, 3, 4ringrz 13524 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
137, 11, 12syl2anc 411 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
14 oveq2 5918 . . . 4 (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
1514eqeq1d 2202 . . 3 (𝑌 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
1613, 15syl5ibrcom 157 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
176, 16impbid 129 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2164  wral 2472  cfv 5246  (class class class)co 5910  Basecbs 12608  .rcmulr 12686  0gc0g 12857  Ringcrg 13476  RLRegcrlreg 13735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltadd 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-ltxr 8049  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-sets 12615  df-plusg 12698  df-mulr 12699  df-0g 12859  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988  df-grp 13065  df-mgp 13401  df-ring 13478  df-rlreg 13738
This theorem is referenced by:  rrgnz  13748
  Copyright terms: Public domain W3C validator