Theorem rrgnz 13748

Description: In a nonzero ring, the zero is a left zero divisor (that is, not a left-regular element). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgnz.t	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgnz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rrgnz	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ 0 ∈ 𝐸)

Proof of Theorem rrgnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		rrgnz.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	nzrnz 13662	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
4	3	neneqd 2385	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ (1r‘𝑅) = 0 )
5		nzrring 13663	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
7		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0 ∈ 𝐸) → 0 ∈ 𝐸)
8		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 1	ringidcl 13500	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	6, 9	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0 ∈ 𝐸) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	8, 11, 2, 6, 10	ringlzd 13525	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0 ∈ 𝐸) → ( 0 (.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
13		rrgnz.t	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
14	13, 8, 11, 2	rrgeq0 13745	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝐸 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (( 0 (.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ↔ (1r‘𝑅) = 0 ))
15	14	biimpa 296	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝐸 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ( 0 (.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ) → (1r‘𝑅) = 0 )
16	6, 7, 10, 12, 15	syl31anc 1252	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0 ∈ 𝐸) → (1r‘𝑅) = 0 )
17	4, 16	mtand 666	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ 0 ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5246  (class class class)co 5910  Basecbs 12608  ._rcmulr 12686  0_gc0g 12857  1_rcur 13439  Ringcrg 13476  NzRingcnzr 13659  RLRegcrlreg 13735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-ltxr 8049  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-sets 12615  df-plusg 12698  df-mulr 12699  df-0g 12859  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988  df-grp 13065  df-minusg 13066  df-mgp 13401  df-ur 13440  df-ring 13478  df-nzr 13660  df-rlreg 13738

This theorem is referenced by: (None)