Theorem s4s2d 11556

Description: Concatenation of fixed length strings. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2s2d.a	|- ( ph -> A e. V )
s2s2d.b	|- ( ph -> B e. W )
s2s2d.c	|- ( ph -> C e. X )
s2s2d.d	|- ( ph -> D e. Y )
s4s2d.e	|- ( ph -> E e. Z )
s4s2d.f	|- ( ph -> F e. P )

Assertion

Ref	Expression
s4s2d	|- ( ph -> <" A B C D E F "> = ( <" A B C D "> ++ <" E F "> ) )

Proof of Theorem s4s2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 11511	. 2 |- <" E F "> = ( <" E "> ++ <" F "> )
2		s2s2d.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
3	2	elexd 2835	. . 3 |- ( ph -> A e. _V )
4		s2s2d.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
5	4	elexd 2835	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
6		s2s2d.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. X )
7	6	elexd 2835	. . 3 |- ( ph -> C e. _V )
8		s2s2d.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. Y )
9	8	elexd 2835	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
10	3, 5, 7, 9	s4cld 11535	. 2 |- ( ph -> <" A B C D "> e. Word _V )
11		s4s2d.e	. . . 4 |- ( ph -> E e. Z )
12	11	elexd 2835	. . 3 |- ( ph -> E e. _V )
13	12	s1cld 11373	. 2 |- ( ph -> <" E "> e. Word _V )
14		s4s2d.f	. 2 |- ( ph -> F e. P )
15		df-s6 11515	. . 3 |- <" A B C D E F "> = ( <" A B C D E "> ++ <" F "> )
16	15	a1i 9	. 2 |- ( ph -> <" A B C D E F "> = ( <" A B C D E "> ++ <" F "> ) )
17		df-s5 11514	. . 3 |- <" A B C D E "> = ( <" A B C D "> ++ <" E "> )
18	17	a1i 9	. 2 |- ( ph -> <" A B C D E "> = ( <" A B C D "> ++ <" E "> ) )
19	1, 10, 13, 14, 16, 18	cats1catd 11523	1 |- ( ph -> <" A B C D E F "> = ( <" A B C D "> ++ <" E F "> ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821  (class class class)co 6079   ++ cconcat 11341   <"cs1 11366   <"cs2 11504   <"cs4 11506   <"cs5 11507   <"cs6 11508

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-ihash 11198  df-word 11288  df-concat 11342  df-s1 11367  df-s2 11511  df-s3 11512  df-s4 11513  df-s5 11514  df-s6 11515

This theorem is used by:  s4s3d  11557  s5s2d  11560