Theorem s5s2d 11435

Description: Concatenation of fixed length strings. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2s2d.a	|- ( ph -> A e. V )
s2s2d.b	|- ( ph -> B e. W )
s2s2d.c	|- ( ph -> C e. X )
s2s2d.d	|- ( ph -> D e. Y )
s4s2d.e	|- ( ph -> E e. Z )
s4s2d.f	|- ( ph -> F e. P )
s4s3d.g	|- ( ph -> G e. Q )

Assertion

Ref	Expression
s5s2d	|- ( ph -> <" A B C D E F G "> = ( <" A B C D E "> ++ <" F G "> ) )

Proof of Theorem s5s2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2s2d.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
2		s2s2d.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. W )
3		s2s2d.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. X )
4		s2s2d.d	. . . . 5 |- ( ph -> D e. Y )
5		s4s2d.e	. . . . 5 |- ( ph -> E e. Z )
6		s4s2d.f	. . . . 5 |- ( ph -> F e. P )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	s4s2d 11431	. . . 4 |- ( ph -> <" A B C D E F "> = ( <" A B C D "> ++ <" E F "> ) )
8	7	eqcomd 2237	. . 3 |- ( ph -> ( <" A B C D "> ++ <" E F "> ) = <" A B C D E F "> )
9	8	oveq1d 6043	. 2 |- ( ph -> ( ( <" A B C D "> ++ <" E F "> ) ++ <" G "> ) = ( <" A B C D E F "> ++ <" G "> ) )
10	1	elexd 2817	. . . 4 |- ( ph -> A e. _V )
11	2	elexd 2817	. . . 4 |- ( ph -> B e. _V )
12	3	elexd 2817	. . . 4 |- ( ph -> C e. _V )
13	4	elexd 2817	. . . 4 |- ( ph -> D e. _V )
14	10, 11, 12, 13	s4cld 11410	. . 3 |- ( ph -> <" A B C D "> e. Word _V )
15		s4s3d.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Q )
16	15	elexd 2817	. . . 4 |- ( ph -> G e. _V )
17	16	s1cld 11248	. . 3 |- ( ph -> <" G "> e. Word _V )
18		df-s5 11389	. . . 4 |- <" A B C D E "> = ( <" A B C D "> ++ <" E "> )
19	18	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> <" A B C D E "> = ( <" A B C D "> ++ <" E "> ) )
20		df-s2 11386	. . . 4 |- <" F G "> = ( <" F "> ++ <" G "> )
21	20	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> <" F G "> = ( <" F "> ++ <" G "> ) )
22	14, 17, 5, 6, 19, 21	cats2catd 11399	. 2 |- ( ph -> ( <" A B C D E "> ++ <" F G "> ) = ( ( <" A B C D "> ++ <" E F "> ) ++ <" G "> ) )
23		df-s7 11391	. . 3 |- <" A B C D E F G "> = ( <" A B C D E F "> ++ <" G "> )
24	23	a1i 9	. 2 |- ( ph -> <" A B C D E F G "> = ( <" A B C D E F "> ++ <" G "> ) )
25	9, 22, 24	3eqtr4rd 2275	1 |- ( ph -> <" A B C D E F G "> = ( <" A B C D E "> ++ <" F G "> ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803  (class class class)co 6028   ++ cconcat 11216   <"cs1 11241   <"cs2 11379   <"cs4 11381   <"cs5 11382   <"cs6 11383   <"cs7 11384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-ihash 11084  df-word 11163  df-concat 11217  df-s1 11242  df-s2 11386  df-s3 11387  df-s4 11388  df-s5 11389  df-s6 11390  df-s7 11391

This theorem is referenced by:  konigsberglem1  16412  konigsberglem2  16413  konigsberglem3  16414