Theorem s4s3d 11387

Description: Concatenation of fixed length strings. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2s2d.a	|- ( ph -> A e. V )
s2s2d.b	|- ( ph -> B e. W )
s2s2d.c	|- ( ph -> C e. X )
s2s2d.d	|- ( ph -> D e. Y )
s4s2d.e	|- ( ph -> E e. Z )
s4s2d.f	|- ( ph -> F e. P )
s4s3d.g	|- ( ph -> G e. Q )

Assertion

Ref	Expression
s4s3d	|- ( ph -> <" A B C D E F G "> = ( <" A B C D "> ++ <" E F G "> ) )

Proof of Theorem s4s3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s3 11342	. 2 |- <" E F G "> = ( <" E F "> ++ <" G "> )
2		s2s2d.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
3	2	elexd 2816	. . 3 |- ( ph -> A e. _V )
4		s2s2d.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
5	4	elexd 2816	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
6		s2s2d.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. X )
7	6	elexd 2816	. . 3 |- ( ph -> C e. _V )
8		s2s2d.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. Y )
9	8	elexd 2816	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
10	3, 5, 7, 9	s4cld 11365	. 2 |- ( ph -> <" A B C D "> e. Word _V )
11		s4s2d.e	. . . 4 |- ( ph -> E e. Z )
12	11	elexd 2816	. . 3 |- ( ph -> E e. _V )
13		s4s2d.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. P )
14	13	elexd 2816	. . 3 |- ( ph -> F e. _V )
15	12, 14	s2cld 11363	. 2 |- ( ph -> <" E F "> e. Word _V )
16		s4s3d.g	. 2 |- ( ph -> G e. Q )
17		df-s7 11346	. . 3 |- <" A B C D E F G "> = ( <" A B C D E F "> ++ <" G "> )
18	17	a1i 9	. 2 |- ( ph -> <" A B C D E F G "> = ( <" A B C D E F "> ++ <" G "> ) )
19	2, 4, 6, 8, 11, 13	s4s2d 11386	. 2 |- ( ph -> <" A B C D E F "> = ( <" A B C D "> ++ <" E F "> ) )
20	1, 10, 15, 16, 18, 19	cats1catd 11353	1 |- ( ph -> <" A B C D E F G "> = ( <" A B C D "> ++ <" E F G "> ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802  (class class class)co 6018   ++ cconcat 11171   <"cs1 11196   <"cs2 11334   <"cs3 11335   <"cs4 11336   <"cs6 11338   <"cs7 11339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11118  df-concat 11172  df-s1 11197  df-s2 11341  df-s3 11342  df-s4 11343  df-s5 11344  df-s6 11345  df-s7 11346

This theorem is referenced by:  s3s4d  11388  s4s4d  11391  konigsberglem1  16358  konigsberglem2  16359  konigsberglem3  16360