Theorem sraring 14462

Description: Condition for a subring algebra to be a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraring.1	|- A = ( (subringAlg ` R ) ` V )
sraring.2	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
sraring	|- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> A e. Ring )

Proof of Theorem sraring

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> R e. Ring )
2		sraring.2	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> B = ( Base ` R ) )
4		sraring.1	. . . . . 6 |- A = ( (subringAlg ` R ) ` V )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> A = ( (subringAlg ` R ) ` V ) )
6		id 19	. . . . . . 7 |- ( V C_ B -> V C_ B )
7	6, 2	sseqtrdi 3275	. . . . . 6 |- ( V C_ B -> V C_ ( Base ` R ) )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> V C_ ( Base ` R ) )
9	5, 8, 1	srabaseg 14452	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` A ) )
10	2, 9	eqtrid 2276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> B = ( Base ` A ) )
11	5, 8, 1	sraaddgg 14453	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` A ) )
12	11	oveqdr 6045	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) = ( x ( +g ` A ) y ) )
13	5, 8, 1	sramulrg 14454	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` A ) )
14	13	oveqdr 6045	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) = ( x ( .r ` A ) y ) )
15	3, 10, 12, 14	ringpropd 14050	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( R e. Ring <-> A e. Ring ) )
16	1, 15	mpbid 147	1 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> A e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   C_ wss 3200   ` cfv 5326   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160   Ringcrg 14008  subringAlg csra 14446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-ip 13177  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-mgp 13933  df-ring 14010  df-sra 14448

This theorem is referenced by: (None)