Theorem sraring 14723

Description: Condition for a subring algebra to be a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraring.1	|- A = ( (subringAlg ` R ) ` V )
sraring.2	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
sraring	|- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> A e. Ring )

Proof of Theorem sraring

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> R e. Ring )
2		sraring.2	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> B = ( Base ` R ) )
4		sraring.1	. . . . . 6 |- A = ( (subringAlg ` R ) ` V )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> A = ( (subringAlg ` R ) ` V ) )
6		id 19	. . . . . . 7 |- ( V C_ B -> V C_ B )
7	6, 2	sseqtrdi 3290	. . . . . 6 |- ( V C_ B -> V C_ ( Base ` R ) )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> V C_ ( Base ` R ) )
9	5, 8, 1	srabaseg 14713	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` A ) )
10	2, 9	eqtrid 2279	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> B = ( Base ` A ) )
11	5, 8, 1	sraaddgg 14714	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` A ) )
12	11	oveqdr 6086	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) = ( x ( +g ` A ) y ) )
13	5, 8, 1	sramulrg 14715	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` A ) )
14	13	oveqdr 6086	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) = ( x ( .r ` A ) y ) )
15	3, 10, 12, 14	ringpropd 14281	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( R e. Ring <-> A e. Ring ) )
16	1, 15	mpbid 147	1 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> A e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3214   ` cfv 5357   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   .rcmulr 13375   Ringcrg 14239  subringAlg csra 14707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-ip 13392  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-mgp 14160  df-ring 14241  df-sra 14709

This theorem is referenced by: (None)