Theorem sraring 14786

Description: Condition for a subring algebra to be a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraring.1	|- A = ( (subringAlg ` R ) ` V )
sraring.2	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
sraring	|- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> A e. Ring )

Proof of Theorem sraring

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> R e. Ring )
2		sraring.2	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> B = ( Base ` R ) )
4		sraring.1	. . . . . 6 |- A = ( (subringAlg ` R ) ` V )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> A = ( (subringAlg ` R ) ` V ) )
6		id 19	. . . . . . 7 |- ( V C_ B -> V C_ B )
7	6, 2	sseqtrdi 3296	. . . . . 6 |- ( V C_ B -> V C_ ( Base ` R ) )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> V C_ ( Base ` R ) )
9	5, 8, 1	srabaseg 14776	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` A ) )
10	2, 9	eqtrid 2283	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> B = ( Base ` A ) )
11	5, 8, 1	sraaddgg 14777	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` A ) )
12	11	oveqdr 6113	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) = ( x ( +g ` A ) y ) )
13	5, 8, 1	sramulrg 14778	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` A ) )
14	13	oveqdr 6113	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) = ( x ( .r ` A ) y ) )
15	3, 10, 12, 14	ringpropd 14343	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( R e. Ring <-> A e. Ring ) )
16	1, 15	mpbid 147	1 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> A e. Ring )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5377   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   .rcmulr 13432   Ringcrg 14300  subringAlg csra 14770

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-ip 13449  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-mgp 14218  df-ring 14302  df-sra 14772

This theorem is used by: (None)