Theorem sraring 14211

Description: Condition for a subring algebra to be a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraring.1	|- A = ( (subringAlg ` R ) ` V )
sraring.2	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
sraring	|- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> A e. Ring )

Proof of Theorem sraring

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> R e. Ring )
2		sraring.2	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> B = ( Base ` R ) )
4		sraring.1	. . . . . 6 |- A = ( (subringAlg ` R ) ` V )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> A = ( (subringAlg ` R ) ` V ) )
6		id 19	. . . . . . 7 |- ( V C_ B -> V C_ B )
7	6, 2	sseqtrdi 3241	. . . . . 6 |- ( V C_ B -> V C_ ( Base ` R ) )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> V C_ ( Base ` R ) )
9	5, 8, 1	srabaseg 14201	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` A ) )
10	2, 9	eqtrid 2250	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> B = ( Base ` A ) )
11	5, 8, 1	sraaddgg 14202	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` A ) )
12	11	oveqdr 5972	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) = ( x ( +g ` A ) y ) )
13	5, 8, 1	sramulrg 14203	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` A ) )
14	13	oveqdr 5972	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) = ( x ( .r ` A ) y ) )
15	3, 10, 12, 14	ringpropd 13800	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> ( R e. Ring <-> A e. Ring ) )
16	1, 15	mpbid 147	1 |- ( ( R e. Ring /\ V C_ B ) -> A e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   ` cfv 5271   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   .rcmulr 12910   Ringcrg 13758  subringAlg csra 14195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-sca 12925  df-vsca 12926  df-ip 12927  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-mgp 13683  df-ring 13760  df-sra 14197

This theorem is referenced by: (None)